Pour clôturer un jardin, il faut connaître la longueur du tour. Pour semer de la pelouse, il faut connaître la surface. Pour remplir un aquarium, il faut connaître la place à l’intérieur. Dans ce chapitre, tu apprends à calculer des périmètres, des aires et des volumes, et à ne plus les mélanger.
1. Le périmètre d’un polygone
Périmètre
Le périmètre d’une figure est la longueur de son contour. Pour un polygone, on additionne les longueurs de tous ses côtés. Il s’exprime en unités de longueur (mm, cm, m, km).
Le périmètre d’une figure est la longueur de son contour. Pour un polygone, on additionne les longueurs de tous ses côtés. Il s’exprime en unités de longueur (mm, cm, m, km).
Formules à connaître
Rectangle : P = 2 × (longueur + largeur).
Carré : P = 4 × côté.
Rectangle : P = 2 × (longueur + largeur).
Carré : P = 4 × côté.
Exemple résolu
Rectangle de 9 cm sur 4 cm : P = 2 × (9 + 4) = 2 × 13 = 26 cm.
Carré de 7 cm de côté : P = 4 × 7 = 28 cm.
Rectangle de 9 cm sur 4 cm : P = 2 × (9 + 4) = 2 × 13 = 26 cm.
Carré de 7 cm de côté : P = 4 × 7 = 28 cm.
2. La longueur d’un cercle
Le cercle est le contour du disque. Le rayon relie le centre à un point du cercle. Le diamètre traverse le disque en passant par le centre : il vaut deux fois le rayon.
Longueur d’un cercle
Si on divise la longueur d’un cercle par son diamètre, on trouve toujours le même nombre, noté π (« pi »). On utilise l’approximation π ≈ 3,14.
Longueur du cercle = π × diamètre = π × 2 × rayon.
Si on divise la longueur d’un cercle par son diamètre, on trouve toujours le même nombre, noté π (« pi »). On utilise l’approximation π ≈ 3,14.
Longueur du cercle = π × diamètre = π × 2 × rayon.
Exemple résolu
Un cercle a un rayon de 5 cm. Son diamètre est 2 × 5 = 10 cm.
Longueur = 3,14 × 10 = 31,4 cm (valeur approchée).
Un cercle a un rayon de 5 cm. Son diamètre est 2 × 5 = 10 cm.
Longueur = 3,14 × 10 = 31,4 cm (valeur approchée).
3. L’aire : rectangle et carré
Aire
L’aire d’une surface mesure la place qu’elle occupe. Elle s’exprime en unités d’aire (cm², m², km²…). Une aire n’est pas une longueur.
L’aire d’une surface mesure la place qu’elle occupe. Elle s’exprime en unités d’aire (cm², m², km²…). Une aire n’est pas une longueur.
Formules à connaître
Rectangle : A = longueur × largeur.
Carré : A = côté × côté.
Rectangle : A = longueur × largeur.
Carré : A = côté × côté.
Exemple résolu
Rectangle de 9 cm sur 4 cm : A = 9 × 4 = 36 cm².
Carré de 7 cm de côté : A = 7 × 7 = 49 cm².
Rectangle de 9 cm sur 4 cm : A = 9 × 4 = 36 cm².
Carré de 7 cm de côté : A = 7 × 7 = 49 cm².
Piège
Pour le même rectangle de 9 cm sur 4 cm, le périmètre est 26 cm et l’aire est 36 cm². Deux grandeurs, deux unités : cm pour le périmètre, cm² pour l’aire.
Pour le même rectangle de 9 cm sur 4 cm, le périmètre est 26 cm et l’aire est 36 cm². Deux grandeurs, deux unités : cm pour le périmètre, cm² pour l’aire.
4. L’aire d’un triangle
Dans un triangle, on choisit un côté appelé base. La hauteur est le segment qui part du sommet opposé et qui tombe à angle droit sur la base.
Aire d’un triangle
A = (base × hauteur) ÷ 2.
Un triangle occupe la moitié du rectangle qui a la même base et la même hauteur.
A = (base × hauteur) ÷ 2.
Un triangle occupe la moitié du rectangle qui a la même base et la même hauteur.
Exemple résolu
Base 8 cm, hauteur 5 cm : 8 × 5 = 40, puis 40 ÷ 2 = 20 cm².
Base 8 cm, hauteur 5 cm : 8 × 5 = 40, puis 40 ÷ 2 = 20 cm².
Piège
La hauteur n’est pas toujours un côté du triangle. Ne prends pas un côté penché : la hauteur fait toujours un angle droit avec la base.
La hauteur n’est pas toujours un côté du triangle. Ne prends pas un côté penché : la hauteur fait toujours un angle droit avec la base.
5. L’aire d’un disque
Aire d’un disque
A = π × rayon × rayon, avec π ≈ 3,14.
A = π × rayon × rayon, avec π ≈ 3,14.
Exemple résolu
Disque de rayon 5 cm : A = 3,14 × 5 × 5 = 3,14 × 25 = 78,5 cm² (valeur approchée).
Disque de rayon 5 cm : A = 3,14 × 5 × 5 = 3,14 × 25 = 78,5 cm² (valeur approchée).
Piège
On multiplie par le rayon deux fois, pas par le diamètre. Si on te donne le diamètre, divise-le par 2 pour trouver le rayon.
On multiplie par le rayon deux fois, pas par le diamètre. Si on te donne le diamètre, divise-le par 2 pour trouver le rayon.
6. Le volume d’un pavé droit
Volume
Le volume d’un solide mesure la place qu’il occupe. On le compte avec des petits cubes : un cube de 1 cm d’arête a un volume de 1 cm³ (un centimètre cube).
Le volume d’un solide mesure la place qu’il occupe. On le compte avec des petits cubes : un cube de 1 cm d’arête a un volume de 1 cm³ (un centimètre cube).
Volume d’un pavé droit
V = longueur × largeur × hauteur.
Pour un cube : V = arête × arête × arête.
V = longueur × largeur × hauteur.
Pour un cube : V = arête × arête × arête.
Exemple résolu
Le pavé de 4 cm sur 3 cm sur 2 cm : on pose 3 × 4 = 12 cubes par couche, il y a 2 couches. V = 4 × 3 × 2 = 24 cm³.
Le pavé de 4 cm sur 3 cm sur 2 cm : on pose 3 × 4 = 12 cubes par couche, il y a 2 couches. V = 4 × 3 × 2 = 24 cm³.
7. Unités : aires, volumes et capacités
| Grandeur | Relations à connaître |
|---|---|
| Aire | 1 m² = 100 dm² = 10 000 cm² |
| Grande aire | 1 ha (hectare) = 10 000 m² ; 1 km² = 100 ha |
| Volume | 1 m³ = 1 000 dm³ ; 1 dm³ = 1 000 cm³ |
| Capacité | 1 L = 1 dm³ ; 1 mL = 1 cm³ |
Astuce de Mathbot
Pour les aires, on multiplie ou on divise par 100 à chaque étape. Pour les volumes, c’est par 1 000. Plus l’exposant est grand, plus le saut est grand !
Pour les aires, on multiplie ou on divise par 100 à chaque étape. Pour les volumes, c’est par 1 000. Plus l’exposant est grand, plus le saut est grand !
Exemple
Un aquarium de 60 000 cm³ contient 60 000 ÷ 1 000 = 60 dm³, soit 60 L d’eau.
Un aquarium de 60 000 cm³ contient 60 000 ÷ 1 000 = 60 dm³, soit 60 L d’eau.
8. Figures composées et problèmes
Pour une figure compliquée, on la découpe en figures simples (rectangles, carrés, triangles, disques), on calcule chaque aire, puis on additionne. Parfois, on soustrait une partie enlevée.
Exemple résolu
Carré : 6 × 6 = 36 cm². Triangle : 6 × 4 ÷ 2 = 12 cm². Aire totale : 36 + 12 = 48 cm².
Carré : 6 × 6 = 36 cm². Triangle : 6 × 4 ÷ 2 = 12 cm². Aire totale : 36 + 12 = 48 cm².
Méthode
1) Je dis ce qu’on me demande : un tour (périmètre), une surface (aire) ou une place dans l’espace (volume). 2) Je choisis la bonne formule. 3) Je convertis pour avoir la même unité. 4) Je calcule. 5) J’écris l’unité qui convient dans la phrase réponse.
1) Je dis ce qu’on me demande : un tour (périmètre), une surface (aire) ou une place dans l’espace (volume). 2) Je choisis la bonne formule. 3) Je convertis pour avoir la même unité. 4) Je calcule. 5) J’écris l’unité qui convient dans la phrase réponse.
À retenir
- Périmètre : rectangle 2 × (L + l), carré 4 × c.
- Longueur d’un cercle : π × diamètre, avec π ≈ 3,14.
- Aire : rectangle L × l ; carré c × c ; triangle (base × hauteur) ÷ 2 ; disque π × r × r.
- Volume d’un pavé droit : L × l × h ; d’un cube : arête × arête × arête.
- 1 m² = 10 000 cm² ; 1 ha = 10 000 m² ; 1 dm³ = 1 L = 1 000 cm³.
- Longueur en cm, aire en cm², volume en cm³ : l’unité dit de quelle grandeur on parle.