Extremum d’une fonction — définition : Un extremum est la plus grande valeur (maximum) ou la plus petite valeur (minimum) prise par une fonction, sur un intervalle donné.
Maximum et minimum
Dire que M est le maximum de f sur I signifie que f(x) ≤ M pour tout x de I, avec M atteint en au moins une valeur de x. Pour le minimum, on inverse l’inégalité.
Où les trouver ?
Sur un tableau de variations, un extremum apparaît quand les flèches changent de direction (ou aux bornes de l’intervalle étudié).
Exemple résolu
Soit f(x) = (x − 3)² + 2. Comme un carré est toujours positif ou nul, (x − 3)² ≥ 0, donc f(x) ≥ 2. Et f(3) = 2. Le minimum de f est donc 2, atteint en x = 3.
- L’extremum est une valeur de y, pas de x.
- Une fonction peut ne pas avoir de maximum, par exemple x² sur ℝ.
Erreur fréquente
Donner l’abscisse au lieu de la valeur. Ici, on dit « le minimum est 2, atteint en 3 », et non « le minimum est 3 ».
Exemple : −(x − 1)² + 5 a pour maximum 5, atteint en x = 1.