Fonction exponentielle : définition et exemple

Fonction exponentielle — définition : La fonction exponentielle, notée exp, est la fonction définie sur les réels qui est égale à sa propre dérivée et vaut 1 en 0.

Propriétés

Ces nombres se retrouvent aussi dans le développement de (a + b)ⁿ, d’où leur nom.

• exp(0) = 1 et exp(x) > 0 pour tout x réel.
• exp(a + b) = exp(a) × exp(b).
• exp(−a) = 1exp(a).
• Elle est strictement croissante.

Notation

La fonction exponentielle décrit les phénomènes dont la vitesse de croissance est proportionnelle à la quantité présente, comme une population de bactéries.

On écrit e^x pour exp(x), où e ≈ 2,718. Les règles ressemblent à celles des puissances : e^a × e^b = e^a+b.

Exemple résolu

Simplifions e^3x × e^−xe^x+2. Au numérateur, e^3x−x = e^2x. On divise : e^2x−(x+2) = e^x−2.

Résolvons e^2x = e⁸ : par stricte croissance, 2x = 8, donc x = 4.

Erreur fréquente

Écrire e^a + e^b = e^a+b. La propriété ne vaut que pour le produit, et l’exponentielle ne s’annule jamais.

Où l’apprendre

• Fonction exponentielle – cours de 1ère

Mots voisins

• Dérivée d'une fonction
• Suite géométrique

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