Dérivée d’une fonction — définition : La dérivée d'une fonction f est la fonction f' qui donne, en chaque point, le taux de variation instantané de f, c'est-à-dire la pente de sa tangente.
Dérivées usuelles
- (c)’ = 0 pour une constante c ; (x)’ = 1.
- (x²)’ = 2x ; (x³)’ = 3x² ; (xn)’ = nxn−1.
- (1x)’ = −1x² ; (√x)’ = 12√x.
- (ex)’ = ex.
Règles de calcul
Dériver, c’est mesurer à quelle vitesse une quantité change à un instant précis, comme le compteur d’une voiture.
(u + v)’ = u’ + v’ ; (ku)’ = ku’ ; (uv)’ = u’v + uv’.
Lien avec les variations
Là où f’ > 0, f est croissante ; là où f’ < 0, elle est décroissante.
Exemple résolu
Pour f(x) = x³ − 6x² + 5, f'(x) = 3x² − 12x = 3x(x − 4). f’ est négative entre 0 et 4, donc f décroît sur [0 ; 4] et croît ailleurs.
Erreur fréquente
Dériver un produit comme un produit de dérivées : (uv)’ n’est pas u’v’.
Exemple : f(x) = 5x² − 3x + 2 donne f'(x) = 10x − 3.
Où l’apprendre
- Dérivation : nombre dérivé et tangente – cours de 1ère
- Variations et extremums des fonctions – cours de 1ère