Nombre dérivé — définition : Le nombre dérivé de f en a est la limite du taux de variation entre a et a + h quand h tend vers 0 ; il se note f'(a).
Définition
f'(a) = lim f(a + h) − f(a)h quand h tend vers 0. C’est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse a.
Calcul à la main
On forme le taux de variation, on simplifie l’expression, puis on fait tendre h vers 0.
Exemple résolu
Soit f(x) = x² + 3x et a = 2. f(2 + h) = 4 + 4h + h² + 6 + 3h = 10 + 7h + h². Le taux vaut f(2 + h) − f(2)h = 7h + h²h = 7 + h. Quand h tend vers 0, on obtient f'(2) = 7.
Avec la fonction dérivée f'(x) = 2x + 3 : f'(2) = 7, c’est cohérent.
Erreur fréquente
Confondre f'(a) et f(a) : le premier est une pente, le second une hauteur. Et attention : f'(a) n’existe pas toujours, par exemple pour √x en 0, où la tangente est verticale.