Tangente à une courbe — définition : Au point d'abscisse a, la tangente est la droite qui frôle la courbe de f sans la traverser localement, et sa pente vaut le nombre dérivé f'(a).
Équation
Quand f est dérivable en a, la tangente a pour équation y = f'(a)(x − a) + f(a).
Pourquoi c’est utile ?
Près du point de contact, la tangente est une bonne approximation de la courbe : on peut estimer f(a + h) par f(a) + f'(a) × h.
Exemple résolu
f(x) = x² − 4x + 7 en a = 3. f(3) = 9 − 12 + 7 = 4 et f'(x) = 2x − 4, donc f'(3) = 2. Équation : y = 2(x − 3) + 4 = 2x − 2.
Valeur approchée de f(3,1) : f(3) + 2 × 0,1 = 4,2. La valeur exacte est 4,21.
- Quand f'(a) vaut zéro, la droite tangente est parallèle à l’axe des abscisses.
Erreur fréquente
Oublier de remplacer f(a) : y = f'(a)(x − a) est faux, car cette droite passe par le point (a ; 0) et pas par le point de la courbe.
Exemple : En a = 1 pour f(x) = x³ : y = 3(x − 1) + 1 = 3x − 2.