Suite majorée, suite minorée — définition : Une suite est majorée s'il existe un réel M qui dépasse tous ses termes, minorée s'il existe un réel m qui est inférieur à tous ses termes.
Définitions précises
- Majorée : un ≤ M pour tout n.
- Minorée : un ≥ m pour tout n.
- Bornée : à la fois majorée et minorée.
Pourquoi c’est important ?
Combinée à la monotonie, cette notion donne la convergence : une suite croissante majorée converge. Pour prouver qu’un majorant existe, on utilise souvent un raisonnement par récurrence.
Exemple résolu
Soit un = 3n + 1n + 2. On écrit un = 3 − 5n + 2. Comme 5n + 2 > 0, on a un < 3 : la suite est majorée par 3. Elle est aussi minorée par u0 = 0,5, car elle croît.
À retenir
Majorant et minorant ne sont pas uniques : si M convient, tout nombre plus grand convient aussi. On cherche souvent le plus simple, celui qu’on peut démontrer facilement.
Erreur fréquente
Confondre un majorant et la limite. Ici 3 est à la fois majorant et limite, mais 4 est aussi un majorant sans être la limite.