Théorème des valeurs intermédiaires — définition : Si f est continue sur [a ; b], elle prend toutes les valeurs situées entre f(a) et f(b) ; elle s'annule donc si ces deux images sont de signes opposés.
Énoncé
Pour f continue sur [a ; b] et tout réel k entre f(a) et f(b), l’équation f(x) = k a au moins une solution dans [a ; b]. Si de plus f est strictement monotone, la solution est unique.
À quoi ça sert ?
À prouver qu’une équation que l’on ne sait pas résoudre a une solution, puis à en donner un encadrement par balayage ou dichotomie.
Exemple résolu
Soit f(x) = x³ + x − 5 sur [1 ; 2]. f est continue et strictement croissante. f(1) = −3 et f(2) = 5 sont de signes opposés : il existe un unique α dans [1 ; 2] tel que f(α) = 0. On vérifie f(1,5) = 3,375 + 1,5 − 5 = −0,125, donc α ∈ [1,5 ; 2].
Erreur fréquente
Oublier la continuité ou la stricte monotonie dans la rédaction : sans la monotonie, on prouve l’existence mais pas l’unicité.