Dérivée d’une fonction composée — définition : Pour dériver une fonction composée f(g(x)), on multiplie la dérivée de g par la dérivée de f évaluée en g(x) : (f∘g)' = g' × f'(g).
Formules à connaître
- (un)’ = n × u’ × un−1.
- (eu)’ = u’ × eu.
- (√u)’ = u’2√u.
- (ln u)’ = u’u.
Pourquoi ces formules ?
Elles découlent d’un seul principe : quand une quantité en commande une autre, les vitesses de variation se multiplient, comme les rapports d’engrenages d’une chaîne de transmission.
Méthode
On repère la fonction « intérieure » u et la fonction « extérieure ». On dérive l’extérieure comme si u était une variable, puis on multiplie par u’.
Exemple résolu
Soit f(x) = (3x² − 5)⁴. Ici u = 3x² − 5 et u’ = 6x. Donc f'(x) = 4 × 6x × (3x² − 5)³ = 24x(3x² − 5)³.
Pour g(x) = e2x+1 : g'(x) = 2e2x+1.
Erreur fréquente
Oublier le facteur u’ : dériver (3x² − 5)⁴ en 4(3x² − 5)³ est incomplet. Le facteur intérieur est la trace de la composition.