Convexité — définition : Une fonction est convexe sur un intervalle quand sa courbe reste au-dessus de ses tangentes ; elle est concave quand elle reste en dessous.
Critères avec les dérivées
- f convexe sur I si et seulement si f’ est croissante sur I.
- Pour une fonction deux fois dérivable : f convexe si f » ≥ 0 sur I, concave si f » ≤ 0.
Image
Une courbe convexe a la forme d’un bol ; une courbe concave, celle d’une bosse. Tout segment qui joint deux points d’une courbe convexe est au-dessus de la courbe.
Exemple résolu
f(x) = x³ − 6x². Alors f'(x) = 3x² − 12x et f »(x) = 6x − 12 = 6(x − 2). Sur ]−∞ ; 2], f » ≤ 0 : f est concave. Sur [2 ; +∞[, f » ≥ 0 : f est convexe.
Erreur fréquente
Confondre convexe et croissante. La fonction x² est convexe partout, mais elle décroît sur ]−∞ ; 0]. La convexité concerne la courbure, pas le sens de variation.
Exemple : ex est convexe sur ℝ car sa dérivée seconde ex est positive.