Point d’inflexion — définition : Il y a inflexion en un point quand la courbure s'inverse : la courbe passe de la forme d'un bol à celle d'une bosse, ou l'inverse, en traversant sa tangente.
Repérer une inflexion
En un point d’abscisse a, si f » s’annule en changeant de signe, la courbe admet un point d’inflexion.
Sur le graphique
Là, la tangente passe d’un côté à l’autre de la courbe. C’est aussi un extremum de la dérivée première : la pente cesse de croître pour décroître, ou l’inverse.
Exemple résolu
f(x) = x³ − 3x² + 4. On a f'(x) = 3x² − 6x et f »(x) = 6x − 6. f » s’annule en 1 en passant du négatif au positif : le point (1 ; f(1)) = (1 ; 2) est un point d’inflexion. La pente de la tangente y vaut f'(1) = −3.
Erreur fréquente
Conclure à une inflexion dès que f » s’annule. Pour f(x) = x⁴, f »(x) = 12x² s’annule en 0 sans changer de signe : il n’y a pas d’inflexion en ce point.