Logarithme népérien — définition : La fonction ln défait l'exponentielle : pour tout x strictement positif, ln(x) est le seul exposant y qui vérifie e<sup>y</sup> = x.
Propriétés
- ln(1) = 0 et ln(e) = 1.
- ln(ab) = ln(a) + ln(b) ; ln(ab) = ln(a) − ln(b).
- ln(an) = n × ln(a).
- Dérivée : (ln x)’ = 1x ; ln est strictement croissante sur ]0 ; +∞[ et transforme les produits en sommes.
Lien avec l’exponentielle
eln x = x pour x > 0, et ln(ex) = x pour tout réel x. Cela permet de résoudre des équations avec des exposants.
On l’appelle aussi logarithme naturel, car il apparaît dans la plupart des phénomènes de croissance continue : intérêts, désintégration, population.
Exemple résolu
Résolvons 3 × 1,05n = 12. On obtient 1,05n = 4, donc n × ln(1,05) = ln(4), et n = ln 4ln 1,05 ≈ 1,3860,0488 ≈ 28,4. Il faut donc 29 ans.
Erreur fréquente
Écrire ln(a + b) = ln(a) + ln(b). C’est le produit qui devient somme, pas la somme.
Exemple : ln(8) = 3 ln(2) ≈ 2,079.