Intégration par parties — définition : L'intégration par parties transforme l'intégrale d'un produit u × v' en une expression plus simple, grâce à la formule ∫u v' = [u v] − ∫u' v.
Formule
Pour u et v dérivables à dérivées continues : ∫ab u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]ab − ∫ab u'(x)v(x) dx.
Comment choisir u et v’ ?
On prend pour u la partie qui se simplifie en la dérivant (un polynôme, ln x), et pour v’ la partie dont on sait facilement trouver une primitive (ex, un sinus).
Exemple résolu
Calculons ∫01 x ex dx. On pose u = x, donc u’ = 1, et v’ = ex, donc v = ex. Alors l’intégrale vaut [x ex]01 − ∫01 ex dx = e − (e − 1) = 1.
Erreur fréquente
Intervertir les rôles : avec u = ex et v’ = x, l’intégrale restante contient x², donc elle est plus compliquée que celle de départ. Oublier le crochet [u v] est aussi une faute courante.