Forme canonique — définition : La forme canonique d'un trinôme s'écrit a(x − α)² + β ; elle met en évidence le sommet (α ; β) de la parabole et facilite l'étude des variations.
Comment l’obtenir ?
On calcule α = −b2a et β = f(α). Le trinôme ax² + bx + c devient alors a(x − α)² + β.
Ce qu’elle apprend
Un carré est toujours positif ou nul : la forme canonique permet donc de borner la fonction sans aucun calcul de dérivée.
- Si a > 0, β est le minimum, atteint en α.
- Si a < 0, β est le maximum, atteint en α.
Exemple résolu
Soit f(x) = 2x² − 12x + 7. On a α = 124 = 3 et β = f(3) = 18 − 36 + 7 = −11. La forme canonique est 2(x − 3)² − 11. Vérification : 2(x² − 6x + 9) − 11 = 2x² − 12x + 18 − 11 = 2x² − 12x + 7.
Le minimum de f est donc −11, atteint pour x = 3.
Erreur fréquente
Écrire (x + α)² au lieu de (x − α)². Avec une forme 2(x − 3)², le sommet est en x = +3. Autre oubli : le facteur a devant la parenthèse.