Discriminant — définition : Le discriminant du trinôme ax² + bx + c est le nombre Δ = b² − 4ac ; son signe indique combien l'équation ax² + bx + c = 0 admet de solutions réelles.
Trois cas
- Δ > 0 : deux solutions distinctes x₁ = −b − √Δ2a et x₂ = −b + √Δ2a.
- Δ = 0 : une solution double x = −b2a.
- Δ < 0 : aucune solution réelle.
Pourquoi ça marche ?
La clé est de savoir si une racine carrée existe : on ne peut extraire √Δ que si Δ est positif ou nul.
Le nombre Δ apparaît quand on met le trinôme sous forme canonique : il fixe le signe de la constante placée à côté du carré.
Exemple résolu
Résolvons 3x² − 5x − 2 = 0. Δ = (−5)² − 4 × 3 × (−2) = 25 + 24 = 49, et √49 = 7. Donc x₁ = 5 − 76 = −13 et x₂ = 5 + 76 = 2.
Quand Δ est un carré parfait, comme ici, les deux solutions sont des nombres rationnels, ce qui simplifie la vérification.
Erreur fréquente
Se tromper de signe avec b² : (−5)² vaut 25, pas −25. Mets les parenthèses et recalcule −4ac séparément quand a ou c est négatif.