Équation de cercle — définition : Le cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r a pour équation (x − a)² + (y − b)² = r² dans un repère orthonormé.
D’où vient la formule ?
Un point M(x ; y) est sur le cercle quand sa distance au centre vaut r. Élever au carré la formule de la distance donne l’équation ci-dessus.
Retrouver centre et rayon
Quand l’équation est développée, on regroupe les termes en x et en y pour reconstituer des carrés, comme pour une forme canonique.
Exemple résolu
Étudions x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0. On écrit (x − 3)² − 9 + (y + 2)² − 4 − 12 = 0, donc (x − 3)² + (y + 2)² = 25. Le cercle a pour centre (3 ; −2) et pour rayon 5.
Le point (7 ; 1) est dessus : 16 + 9 = 25.
Erreur fréquente
Lire le centre avec les mauvais signes : (y + 2)² correspond à une ordonnée −2. Et ne pas oublier que le second membre est r², donc il faut prendre la racine carrée pour avoir le rayon.