Suite convergente — définition : Une suite est convergente quand elle admet une limite finie ; dans le cas contraire, elle est dite divergente.
Un critère pratique
Toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge aussi. Ce théorème garantit l’existence d’une limite, sans la calculer.
Limite d’une suite récurrente
Si un+1 = f(un) converge vers ℓ et que f est continue, alors ℓ vérifie ℓ = f(ℓ). C’est ainsi qu’on trouve la valeur de la limite.
Exemple résolu
u0 = 1 et un+1 = un2 + 3. On peut montrer que la suite est croissante et majorée par 6. Elle converge donc vers un réel ℓ tel que ℓ = ℓ2 + 3, donc ℓ2 = 3 et ℓ = 6.
- Une suite convergente est bornée.
- La réciproque est fausse : (−1)n est bornée mais diverge.
Erreur fréquente
Penser qu’une suite qui augmente tend vers +∞ : un = 5 − 1n augmente mais reste bloquée sous 5.
Exemple : 1n + 2 converge vers 0 ; la suite (−1)n diverge.