Limite d’une suite — définition : La limite d'une suite décrit le comportement de ses termes quand l'indice devient très grand : ils se rapprochent d'un réel fixé, ou grandissent sans borne.
Trois comportements possibles
- Limite finie ℓ : les termes finissent par rester aussi près qu’on veut de ℓ.
- Limite +∞ ou −∞ : les termes dépassent n’importe quel seuil, positif ou négatif.
- Pas de limite : la suite oscille, comme (−1)n.
Limites de référence
1n, 1√n et 1n² tendent vers 0. Les suites n, n² et √n tendent vers +∞. Pour une suite géométrique de raison q : qn tend vers 0 si −1 < q < 1, et vers +∞ si q > 1.
Exemple résolu
Soit un = 4n + 3n + 5. On factorise par n : un = 4 + 3⁄n1 + 5⁄n. Comme 3n et 5n tendent vers 0, la limite est 41 = 4.
Erreur fréquente
Dire « +∞ − ∞ = 0 ». C’est une forme indéterminée : il faut transformer l’expression, par exemple en factorisant le terme dominant, avant de conclure.
Exemple : un = 7 − 2n tend vers 7 ; vn = 3n² tend vers +∞.