Continuité — définition : Une fonction est continue sur un intervalle quand sa courbe peut se tracer d'un seul trait, sans lever le crayon ni sauter d'un niveau à l'autre.
Définition précise
f est continue en a si la limite de f(x) quand x tend vers a est égale à f(a). Les fonctions polynômes, l’exponentielle, le logarithme et les fonctions rationnelles sont continues sur leurs ensembles de définition.
Lien avec la dérivée
Toute fonction dérivable en a est continue en a. L’inverse est faux : la valeur absolue est continue en 0 mais pas dérivable.
Exemple résolu
La fonction f est définie par f(x) = x + 4 si x < 2 et f(x) = kx si x ≥ 2. En 2, la limite à gauche vaut 6. Pour la continuité, il faut f(2) = k2 = 6, donc k = 12.
Erreur fréquente
Penser qu’une fonction continue ne peut pas avoir de « trou » dans son ensemble de définition. Une fonction comme 1x est continue sur chaque intervalle où elle existe, même si elle n’est pas définie en 0.