Limite d’une fonction — définition : La limite d'une fonction en un point ou en l'infini indique la valeur vers laquelle se rapprochent les images f(x) lorsque x s'approche de ce point ou devient très grand.
Quatre situations
- Limite finie en l’infini : la courbe se rapproche d’une droite horizontale.
- Limite infinie en l’infini, comme x² en +∞.
- Limite infinie en un réel a : la courbe se rapproche d’une droite verticale.
- Limite finie en a : f(x) se rapproche d’un nombre quand x tend vers a.
Calculer
On utilise les limites usuelles et les opérations. Pour une forme indéterminée, on factorise ou on utilise un conjugué.
Exemple résolu
f(x) = 2x² − 3xx² + 1. En +∞, on factorise : f(x) = 2 − 3⁄x1 + 1⁄x² ; le numérateur tend vers 2 et le dénominateur vers 1, donc la limite est 2.
Erreur fréquente
Calculer « ∞/∞ = 1 ». C’est une forme indéterminée : seul le terme de plus haut degré compte, à condition de le factoriser proprement.
Exemple : 1x − 3 tend vers +∞ quand x tend vers 3 par valeurs supérieures.