Croissances comparées — définition : Les croissances comparées classent les vitesses de croissance à l'infini : l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de x, qui l'emporte elle-même sur le logarithme.
Les limites de référence
- exxn tend vers +∞ quand x tend vers +∞.
- xne−x tend vers 0.
- ln xxn tend vers 0.
- x ln x tend vers 0 quand x tend vers 0 par valeurs positives.
À quoi ça sert ?
À lever des formes indéterminées du type ∞/∞ ou 0 × ∞, quand une exponentielle ou un logarithme est en jeu.
Exemple résolu
Étudions f(x) = (x² + 3)e−x en +∞. On écrit f(x) = x²ex + 3ex. Le premier terme tend vers 0 par croissances comparées, le second aussi : la limite est 0. La courbe a donc l’axe des abscisses pour asymptote.
Erreur fréquente
Penser que « x² gagne » parce que 2 > 1 : malgré un exposant énorme, la puissance finit toujours par être dépassée par l’exponentielle.
Exemple : ln xx → 0 et exx⁵ → +∞ quand x → +∞.
Où l’apprendre
- Fonction exponentielle et croissances comparées – cours de Terminale
- Fonction logarithme népérien – cours de Terminale