Intégrale — définition : L'intégrale de f entre a et b est le nombre F(b) − F(a), où F est une primitive de f ; pour f positive, c'est l'aire sous la courbe.
Notation et calcul
On note ∫ab f(x) dx = F(b) − F(a). Le résultat ne dépend pas de la primitive choisie.
Propriétés
- Linéarité : ∫(f + g) = ∫f + ∫g.
- Relation de Chasles : ∫ac = ∫ab + ∫bc.
- Positivité : si f ≥ 0 et a ≤ b, l’intégrale est positive.
Exemple résolu
Calculons ∫13 (2x + 1) dx. Une primitive est F(x) = x² + x. Donc F(3) − F(1) = 12 − 2 = 10. C’est l’aire d’un trapèze de hauteurs 3 et 7 et de largeur 2 : 3 + 72 × 2 = 10.
Erreur fréquente
Confondre intégrale et aire quand la fonction est négative : l’intégrale est alors négative, alors qu’une aire ne l’est jamais. Il faut découper selon le signe de f.
Exemple : ∫02 x² dx = 83.