Valeur moyenne d’une fonction — définition : La valeur moyenne d'une fonction continue sur [a ; b] est le nombre obtenu en divisant son intégrale par la longueur de l'intervalle, soit 1/(b − a) × ∫f.
Idée
C’est la hauteur du rectangle qui aurait la même aire que la zone sous la courbe, avec la même largeur b − a. Elle généralise la moyenne d’une liste de nombres à une infinité de valeurs.
Formule
μ = 1b − a × ∫ab f(x) dx.
Exemple résolu
La température d’une serre pendant la journée suit f(t) = −0,5t² + 6t + 8 pour t entre 0 et 8 heures. Une primitive est F(t) = −t³6 + 3t² + 8t. On a F(8) = −85,33 + 192 + 64 = 170,67 et F(0) = 0. La valeur moyenne est 170,678 ≈ 21,3 degrés.
Utilité
On s’en sert pour des débits, des tarifs variables, des températures, des vitesses.
Erreur fréquente
Oublier de diviser par la longueur b − a : l’intégrale seule donne une aire, pas une moyenne. Vérifie aussi que la valeur obtenue est comprise entre le minimum et le maximum de f.