Vecteurs coplanaires — définition : Trois vecteurs de l'espace sont coplanaires lorsqu'ils sont parallèles à un même plan ; l'un d'eux s'écrit alors comme combinaison linéaire des deux autres.
Critère
Si u et v ne sont pas colinéaires, alors w est coplanaire avec eux si et seulement s’il existe deux réels a et b tels que w = au + bv.
Intérêt
Pour montrer que quatre points A, B, C, D sont dans un même plan, on prouve que AB, AC, AD sont coplanaires.
Exemple résolu
A(1 ; 0 ; 2), B(3 ; 1 ; 3), C(2 ; 2 ; 0), D(6 ; 4 ; 2). On a AB(2 ; 1 ; 1), AC(1 ; 2 ; −2) et AD(5 ; 4 ; 0). On teste AD = 2AB + AC : (4 + 1 ; 2 + 2 ; 2 − 2) = (5 ; 4 ; 0). C’est exact, donc les quatre points sont coplanaires. Si D avait pour coordonnées (6 ; 4 ; 3), la troisième coordonnée ne correspondrait plus.
Erreur fréquente
Raisonner en 2D : dans l’espace, trois vecteurs ne sont pas toujours coplanaires, et un système de trois équations à deux inconnues peut ne pas avoir de solution.