Vecteurs colinéaires — définition : Deux vecteurs sont colinéaires quand l'un est un multiple de l'autre : ils ont alors la même direction, que leurs sens soient identiques ou contraires.
Critère avec les coordonnées
Les vecteurs u(a ; b) et v(c ; d) sont colinéaires si et seulement si ad − bc = 0. Cette quantité s’appelle le déterminant.
À quoi ça sert ?
- Montrer que trois points A, B, C sont alignés : AB et AC colinéaires.
- Montrer que deux droites sont parallèles : leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
Exemple résolu
u(6 ; −9) et v(−4 ; 6). On calcule 6 × 6 − (−9) × (−4) = 36 − 36 = 0. Les vecteurs sont colinéaires, et même v = −23u, de sens contraire.
Pour w(5 ; 7) et z(2 ; 3) : 5 × 3 − 7 × 2 = 1 ≠ 0, ils ne sont pas colinéaires.
Erreur fréquente
Se tromper de signe dans le produit en croix. Écris soigneusement ad puis bc, et n’oublie pas que le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs.
Exemple : A(1 ; 1), B(4 ; 3), C(10 ; 7) : AB(3 ; 2), AC(9 ; 6), 3 × 6 − 2 × 9 = 0, donc alignés.