Représentation paramétrique d’une droite — définition : Une représentation paramétrique d'une droite de l'espace donne les coordonnées de tous ses points à l'aide d'un paramètre réel t, un point de départ et un vecteur directeur.
Forme générale
La droite qui passe par A(xA ; yA ; zA) et de vecteur directeur u(a ; b ; c) est l’ensemble des points M(x ; y ; z) tels que x = xA + at, y = yA + bt, z = zA + ct, pour t réel.
Que fait t ?
Chaque valeur de t donne un point : t = 0 donne A, t = 1 donne le point A + u. C’est comme une horloge qui fait avancer un point sur la droite.
Exemple résolu
La droite passe par A(2 ; −1 ; 4) et B(5 ; 1 ; 3). Un vecteur directeur est AB(3 ; 2 ; −1). Donc x = 2 + 3t, y = −1 + 2t, z = 4 − t. Le point C(8 ; 3 ; 2) est sur la droite : t = 2 donne bien (8 ; 3 ; 2).
Erreur fréquente
Penser que la représentation est unique : changer de point de départ ou de vecteur directeur donne une autre représentation de la même droite.