Équation cartésienne d’un plan — définition : Une équation cartésienne de plan s'écrit ax + by + cz + d = 0, où le vecteur (a ; b ; c) est un vecteur normal au plan.
Lire un vecteur normal
Les coefficients de x, y et z donnent un vecteur normal n(a ; b ; c), orthogonal à toutes les directions du plan. Réciproquement, un point A et un vecteur normal n déterminent le plan.
Construire l’équation
M appartient au plan si AM · n = 0. On développe puis on regroupe les termes constants dans d.
Exemple résolu
Plan passant par A(1 ; 2 ; −1) de vecteur normal n(2 ; −3 ; 4). L’équation est 2(x − 1) − 3(y − 2) + 4(z + 1) = 0, soit 2x − 3y + 4z + 8 = 0. Le point B(0 ; 4 ; 1) vérifie : 0 − 12 + 4 + 8 = 0.
- Deux plans sont parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.
- Deux plans sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
Erreur fréquente
Lire le vecteur normal avec le terme constant, comme (a ; b ; c ; d) : d ne fait pas partie du vecteur. Et ne pas oublier d’arranger les signes en développant (z + 1).
Où l’apprendre
- Produit scalaire et plans de l’espace – cours de Terminale
- Vecteurs, droites et plans de l’espace – cours de Terminale