Vecteur normal à une droite — définition : Un vecteur normal à une droite est une flèche non nulle perpendiculaire à la direction de cette droite ; il sert à la caractériser.
Lecture dans l’équation
Si la droite s’écrit ax + by + c = 0, alors n(a ; b) lui est normal. Réciproquement, si n(a ; b) est normal et A(xA ; yA) un point de la droite, son équation est a(x − xA) + b(y − yA) = 0.
Pourquoi ?
Un point M est sur la droite si et seulement si le produit scalaire AM·n est nul.
Exemple résolu
Droite passant par A(2 ; 1) de vecteur normal n(3 ; −4) : 3(x − 2) − 4(y − 1) = 0, soit 3x − 4y − 2 = 0. Le point B(6 ; 4) est sur la droite : 18 − 16 − 2 = 0.
- Deux droites sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
Erreur fréquente
Prendre (a ; b) pour un vecteur directeur. Lui est normal ; le vecteur directeur est (−b ; a).
Exemple : Droite 5x + 2y − 9 = 0 : vecteur normal (5 ; 2), directeur (−2 ; 5).