Ensembles de nombres — définition : Les ensembles de nombres sont des familles emboîtées : entiers naturels, entiers relatifs, décimaux, rationnels et réels, chacun contenant le précédent.
La chaîne d’inclusions
ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Chaque entier naturel est aussi un relatif, un décimal, un rationnel et un réel. Mais la réciproque est fausse.
Les cinq ensembles
- ℕ : 0, 1, 2, 3…
- ℤ : ajoute les négatifs.
- 𝔻 : nombres à écriture décimale finie, comme 2,75.
- ℚ : quotients d’entiers, comme 13.
- ℝ : ajoute √2, π…
Exemple résolu
Classons −4 ; 74 ; 27 ; √5. Le nombre −4 est dans ℤ. Le nombre 74 = 1,75 est décimal. Le nombre 27 est rationnel mais pas décimal. Le nombre √5 est réel, mais pas rationnel.
Erreur fréquente
Dire que 13 n’est pas un nombre « normal » parce que son écriture est infinie. Il est rationnel. Il n’est simplement pas décimal.
Repère aussi les cas limites : 0 est un entier naturel, et −7 n’appartient pas à ℕ mais bien à ℤ.
Exemple : 0,25 ∈ 𝔻 ; 16 ∈ ℚ mais ∉ 𝔻 ; π ∈ ℝ mais ∉ ℚ.