Équation différentielle — définition : Dans une équation différentielle, l'inconnue n'est pas un nombre mais une fonction : on cherche celle dont la dérivée obéit à une relation imposée.
Le cas y’ = ay
Les solutions de y’ = ay sont les fonctions y(x) = Ceax, avec C une constante réelle. Une condition initiale y(x₀) = y₀ fixe C.
Le cas y’ = ay + b
La fonction constante égale à −ba est une solution particulière ; l’ensemble des solutions est alors y(x) = Ceax − ba.
Exemple résolu
Un liquide refroidit selon y’ = −0,2y + 4, avec y(0) = 30 (en degrés). Ici a = −0,2 et b = 4, donc la solution constante est 20, car 0 = −0,2 × 20 + 4. Les solutions sont y(x) = Ce−0,2x + 20. Avec y(0) = C + 20 = 30, on a C = 10. Donc y(x) = 10e−0,2x + 20 : le liquide tend vers 20 degrés.
Erreur fréquente
Oublier la constante C, ou chercher une seule solution alors qu’il y en a une infinité sans condition initiale.