Relation de Chasles — définition : Chasles permet de couper un trajet en deux étapes : pour tout trio de points, le vecteur AC est égal à AB suivi de BC, soit AB + BC = AC.
Pourquoi c’est utile ?
Elle permet de couper un déplacement en étapes, ou au contraire de recoller des vecteurs bout à bout. On peut intercaler n’importe quel point : AC = AM + MC pour tout point M.
Conséquences
- AB + BA = AA = vecteur nul, donc BA est l’opposé de AB.
- La somme de deux vecteurs se construit en les mettant bout à bout.
Exemple résolu
Simplifions AB + CD + BC + DA. On réordonne : AB + BC + CD + DA. Par Chasles, AB + BC = AC, puis AC + CD = AD, puis AD + DA = vecteur nul. Le résultat est donc le vecteur nul : le trajet fait une boucle fermée.
Erreur fréquente
Utiliser la relation quand les vecteurs ne s’enchaînent pas : AB + CD est bloqué. Fais d’abord apparaître une lettre commune, en écrivant par exemple CD = CB + BD.
Exemple : MA + AN = MN pour tous points M, A, N.