Produit scalaire — définition : Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre, non un vecteur, qui mesure à quel point ils pointent dans la même direction.
Trois écritures équivalentes
- Par les normes : u·v = ‖u‖ × ‖v‖ × cos(θ), où θ est l’angle entre les vecteurs.
- Par les coordonnées : u(a ; b) et v(c ; d) donnent u·v = ac + bd.
- Par projection orthogonale.
Orthogonalité
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
Exemple résolu
u(3 ; −2) et v(4 ; 6) : u·v = 3 × 4 + (−2) × 6 = 12 − 12 = 0. Les vecteurs sont orthogonaux.
Pour u(1 ; 5) et w(2 ; 3), u·w = 2 + 15 = 17 ; comme 17 > 0, l’angle est aigu.
Erreur fréquente
Écrire un résultat sous forme de vecteur. Le produit scalaire est un simple nombre, de signe positif si l’angle est aigu, négatif s’il est obtus.
Exemple : u(2 ; 5)·v(−3 ; 1) = −6 + 5 = −1 : angle obtus.