Norme d’un vecteur — définition : La norme mesure la taille d'un vecteur : c'est la distance parcourue du départ à l'arrivée du déplacement, toujours exprimée par un nombre positif ou nul.
Calcul dans un repère orthonormé
Pour un vecteur u de coordonnées (a ; b), la norme vaut ‖u‖ = √(a² + b²). C’est le théorème de Pythagore appliqué au déplacement.
Distance entre deux points
La distance AB est la norme du vecteur AB : AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)²).
Exemple résolu
A(−1 ; 3) et B(5 ; 11). Le vecteur AB a pour coordonnées (6 ; 8), donc AB = √(36 + 64) = √100 = 10.
- ‖ku‖ = |k| × ‖u‖.
- La norme est nulle seulement pour le vecteur nul.
- Pour normaliser un vecteur, on le divise par sa norme : on obtient alors un vecteur de longueur 1.
Erreur fréquente
Oublier la racine carrée, ou additionner les coordonnées au lieu de leurs carrés. Autre oubli : la formule exige un repère orthonormé, avec la même unité sur les deux axes.
Exemple : Le vecteur (5 ; 12) a pour norme √(25 + 144) = 13.