Théorème des gendarmes — définition : Le théorème des gendarmes affirme qu'une suite coincée entre deux suites qui tendent vers la même limite ℓ tend elle aussi vers ℓ.
Énoncé
Si un ≤ vn ≤ wn à partir d’un certain rang, et si (un) et (wn) ont la même limite ℓ, alors (vn) converge aussi vers ℓ.
Les gendarmes à l’infini
Version avec l’infini : si un ≤ vn et que un tend vers +∞, alors vn tend vers +∞. Une seule suite minorante suffit.
Exemple résolu
Étudions vn = sin(n)n. Comme −1 ≤ sin(n) ≤ 1, on a −1n ≤ vn ≤ 1n. Les deux suites encadrantes tendent vers 0, donc vn tend vers 0.
Erreur fréquente
Encadrer avec des limites différentes : si −1n ≤ vn ≤ 2, on ne peut rien conclure. De plus, il faut que l’encadrement soit vrai pour tous les n à partir d’un rang, pas seulement pour quelques valeurs.
Exemple : −1 ≤ cos(n) ≤ 1 donne cos(n)n² → 0.