Asymptote — définition : Une asymptote est une droite dont la courbe d'une fonction se rapproche indéfiniment, sans forcément la toucher, quand x tend vers l'infini ou vers une valeur interdite.
Les deux types principaux
- Asymptote horizontale y = ℓ : si f(x) tend vers ℓ quand x tend vers +∞ ou −∞.
- Asymptote verticale x = a : si f(x) tend vers +∞ ou −∞ quand x tend vers a.
Comment les repérer ?
Les asymptotes verticales se cherchent aux valeurs qui annulent un dénominateur ; les horizontales, en calculant les limites en l’infini.
Exemple résolu
f(x) = 3x + 1x − 2. En x = 2, le dénominateur s’annule alors que le numérateur vaut 7 : f(x) tend vers ±∞, donc x = 2 est une asymptote verticale. En +∞, f(x) = 3 + 1⁄x1 − 2⁄x tend vers 3 : la droite y = 3 est asymptote horizontale.
Erreur fréquente
Croire que la courbe ne peut jamais couper son asymptote. Elle peut la traverser, parfois plusieurs fois : ce qui compte est la limite loin de l’origine.
Exemple : f(x) = 5 + 2x a pour asymptotes x = 0 et y = 5.