Coefficient binomial — définition : Le coefficient binomial (n parmi k) compte les groupes distincts de k objets que l'on peut former dans un ensemble de n objets, l'ordre ne comptant pas.
Calcul
(n parmi k) = n!k! × (n − k)!, où n! est le produit 1 × 2 × … × n. Sur calculatrice, la touche se nomme nCr ou « combinaison ».
Propriétés
Ces nombres se retrouvent aussi dans le développement de (a + b)n, d’où leur nom.
- (n parmi 0) = (n parmi n) = 1.
- (n parmi k) = (n parmi n − k).
- Le triangle de Pascal donne chaque coefficient comme somme de deux voisins du dessus.
Exemple résolu
De combien de façons peut-on choisir 3 délégués parmi 8 élèves ? (8 parmi 3) = 8 × 7 × 63 × 2 × 1 = 3366 = 56 comités différents.
Et pour choisir les 5 élèves qui restent, on a aussi (8 parmi 5) = 56.
Erreur fréquente
Compter l’ordre : 8 × 7 × 6 = 336 donne le nombre de listes ordonnées, pas de groupes. Il faut diviser par 3! = 6.
Exemple : (6 parmi 2) = 15 ; (10 parmi 1) = 10.