Espérance — définition : L'espérance d'une variable aléatoire est la moyenne des valeurs qu'elle prend, pondérées par leurs probabilités ; c'est la valeur moyenne attendue sur un très grand nombre d'essais.
Formule
E(X) = x1P(X = x1) + x2P(X = x2) + … + xnP(X = xn).
Interprétation
Une espérance positive dans un jeu signifie un gain moyen positif ; une espérance nulle, un jeu équitable. Mais un seul tirage peut très bien s’éloigner de cette valeur.
Exemple résolu
Avec le gain net suivant : 9 € avec probabilité 0,1 ; 0 € avec probabilité 0,3 ; −3 € avec probabilité 0,6, on trouve E(X) = 9 × 0,1 + 0 × 0,3 − 3 × 0,6 = 0,9 − 1,8 = −0,9. En moyenne, on perd 0,90 € par partie : le jeu est défavorable.
- E(aX + b) = aE(X) + b.
Erreur fréquente
Faire la moyenne simple des valeurs sans tenir compte des probabilités. Ici, (9 + 0 − 3) ÷ 3 = 2 serait faux.