Variance d’une variable aléatoire — définition : La variance d'une variable aléatoire mesure l'écart moyen de ses valeurs à son espérance, en faisant la moyenne pondérée des carrés de ces écarts.
Formule
V(X) = Σ P(X = xi) × (xi − E(X))². L’écart-type est σ(X) = √V(X), exprimé dans la même unité que X.
Autre écriture
V(X) = E(X²) − (E(X))² : on calcule la moyenne des carrés, puis on retranche le carré de la moyenne.
Exemple résolu
X prend les valeurs 0, 2 et 6 avec les probabilités 0,5 ; 0,3 ; 0,2. E(X) = 0 + 0,6 + 1,2 = 1,8. E(X²) = 0 + 4 × 0,3 + 36 × 0,2 = 1,2 + 7,2 = 8,4. Donc V(X) = 8,4 − 1,8² = 8,4 − 3,24 = 5,16, et σ ≈ 2,27.
Erreur fréquente
Oublier de retrancher le carré de l’espérance, ou le carré de E(X) mal calculé : (E(X))² est différent de E(X²). Une variance ne peut jamais être négative.