Valeur absolue — définition : La valeur absolue d'un nombre est sa distance à zéro sur la droite graduée ; elle est toujours positive ou nulle.
Définition pratique
Pour un nombre positif, |x| = x. Pour un nombre négatif, |x| = −x. Ainsi |7| = 7 et |−7| = 7.
Distance entre deux nombres
La distance entre a et b vaut |a − b|. L’inéquation |x − a| ≤ r signifie que x est à une distance de a d’au plus r : x ∈ [a − r ; a + r].
Exemple résolu
Résolvons |x − 4| < 3. Les nombres à une distance de 4 strictement inférieure à 3 sont ceux entre 1 et 7 : x ∈ ]1 ; 7[.
Pour |x + 2| = 5 : x + 2 = 5 ou x + 2 = −5, donc x = 3 ou x = −7.
Erreur fréquente
Penser que |x| = −x « pour effacer le signe ». Si x est négatif, −x est positif et c’est correct ; mais si x est positif, c’est faux. Il faut distinguer les cas.
Exemple : |−12,5| = 12,5 ; la distance entre −3 et 8 est |−3 − 8| = 11.