Regarde un papillon 🦋 : son aile gauche ressemble à son aile droite, comme dans un miroir. En maths, on appelle cela la symétrie axiale. Dans ce chapitre, tu apprends à reconnaître des figures symétriques, à trouver un axe de symétrie et à construire le symétrique d’une figure.
1. Des figures symétriques
Figures symétriques
Deux figures sont symétriques par rapport à une droite quand on peut plier la feuille le long de cette droite et que les deux figures se superposent exactement.
Deux figures sont symétriques par rapport à une droite quand on peut plier la feuille le long de cette droite et que les deux figures se superposent exactement.
La figure bleue et la figure orange sont symétriques par rapport à la droite en pointillés.
Le pliage
Prends une feuille, dessine une forme d’un côté d’un pli, puis replie la feuille. Appuie bien, puis rouvre. L’empreinte de l’autre côté est la figure symétrique.
Prends une feuille, dessine une forme d’un côté d’un pli, puis replie la feuille. Appuie bien, puis rouvre. L’empreinte de l’autre côté est la figure symétrique.
2. L’axe de symétrie
Axe de symétrie
La droite le long de laquelle on plie s’appelle l’axe de symétrie. On la dessine souvent en pointillés.
La droite le long de laquelle on plie s’appelle l’axe de symétrie. On la dessine souvent en pointillés.
Une seule figure peut aussi être symétrique
Une figure a un axe de symétrie quand, en la pliant le long de cette droite, les deux moitiés se superposent. Le carré, le rectangle ou le cœur ❤️ ont des axes de symétrie.
Une figure a un axe de symétrie quand, en la pliant le long de cette droite, les deux moitiés se superposent. Le carré, le rectangle ou le cœur ❤️ ont des axes de symétrie.
Attention
L’axe de symétrie est une droite : elle ne s’arrête pas aux bords de la figure. On la prolonge dans le dessin.
L’axe de symétrie est une droite : elle ne s’arrête pas aux bords de la figure. On la prolonge dans le dessin.
3. Le symétrique d’un point
À savoir
Si A’ est le symétrique de A par rapport à la droite (d), alors :
Si A’ est le symétrique de A par rapport à la droite (d), alors :
- le segment [AA’] est perpendiculaire à (d) ;
- (d) passe par le milieu de [AA’] : A et A’ sont à la même distance de (d).
Chaque segment en pointillés jaunes coupe l’axe à angle droit, en son milieu.
Un point sur l’axe
Si un point est sur l’axe, il ne bouge pas : son symétrique, c’est lui-même.
Si un point est sur l’axe, il ne bouge pas : son symétrique, c’est lui-même.
4. Construire sur un quadrillage
Méthode : compter les carreaux
- Place-toi sur un point de la figure.
- Compte les carreaux jusqu’à l’axe, en ligne droite et perpendiculairement à l’axe.
- Compte le même nombre de carreaux de l’autre côté. Marque le point.
- Fais pareil pour tous les sommets, puis relie-les dans le même ordre.
Le point M est à 3 carreaux de l’axe. Son symétrique M’ est à 3 carreaux de l’autre côté.
Axe horizontal ou oblique
Si l’axe est horizontal, tu comptes les carreaux vers le haut ou vers le bas. Si l’axe suit la diagonale des carreaux, la figure « se retourne » comme dans un miroir : les lignes deviennent des colonnes et les colonnes deviennent des lignes.
Si l’axe est horizontal, tu comptes les carreaux vers le haut ou vers le bas. Si l’axe suit la diagonale des carreaux, la figure « se retourne » comme dans un miroir : les lignes deviennent des colonnes et les colonnes deviennent des lignes.
5. Construire avec la règle et l’équerre
Méthode : sans quadrillage
- Pose l’équerre avec un côté de l’angle droit le long de l’axe.
- Glisse-la jusqu’au point A, puis trace la perpendiculaire à l’axe qui passe par A.
- Mesure la distance de A à l’axe avec la règle.
- Reporte cette longueur de l’autre côté de l’axe : tu obtiens A’.
- Recommence pour chaque sommet, puis relie les points.
Le conseil de Mathbot
Vérifie ton travail avec un pliage ou un calque : si ta figure tombe pile sur son symétrique, c’est réussi ! 🤖
Vérifie ton travail avec un pliage ou un calque : si ta figure tombe pile sur son symétrique, c’est réussi ! 🤖
6. Les axes de symétrie des figures usuelles
| Figure | Nombre d’axes de symétrie |
|---|---|
| Carré | 4 |
| Rectangle (qui n’est pas un carré) | 2 |
| Losange (qui n’est pas un carré) | 2 |
| Triangle équilatéral | 3 |
| Triangle isocèle (non équilatéral) | 1 |
| Cercle | autant qu’on veut : tous les diamètres |
| Parallélogramme quelconque | 0 |
Piège
Un parallélogramme qui n’est ni un rectangle ni un losange n’a aucun axe de symétrie. Tu peux le plier en deux, mais les deux moitiés ne se superposent pas.
Un parallélogramme qui n’est ni un rectangle ni un losange n’a aucun axe de symétrie. Tu peux le plier en deux, mais les deux moitiés ne se superposent pas.
7. Ce qui ne change pas
La symétrie conserve
La figure symétrique a la même forme et la même taille : les longueurs, les angles, les périmètres et les aires ne changent pas. Seule la position change.
La figure symétrique a la même forme et la même taille : les longueurs, les angles, les périmètres et les aires ne changent pas. Seule la position change.
Exemple
Un segment [AB] de 6 cm a pour symétrique un segment [A’B’] de 6 cm. Un angle de 40° a pour symétrique un angle de 40°. Le périmètre d’un triangle de 4 cm, 5 cm et 6 cm vaut 15 cm, et celui de son symétrique aussi.
Un segment [AB] de 6 cm a pour symétrique un segment [A’B’] de 6 cm. Un angle de 40° a pour symétrique un angle de 40°. Le périmètre d’un triangle de 4 cm, 5 cm et 6 cm vaut 15 cm, et celui de son symétrique aussi.
8. À retenir
- Deux figures symétriques se superposent quand on plie le long de l’axe de symétrie.
- Pour A et son symétrique A’ : l’axe est perpendiculaire à [AA’] et passe par son milieu.
- Un point de l’axe est son propre symétrique.
- Sur quadrillage : on compte les carreaux jusqu’à l’axe, puis le même nombre de l’autre côté.
- Carré : 4 axes. Rectangle et losange : 2 axes. Triangle équilatéral : 3 axes. Triangle isocèle : 1 axe.
- La symétrie conserve les longueurs, les angles, le périmètre et l’aire.