Pour recouvrir le sol d’une chambre, il faut du carrelage. Combien ? Pour le savoir, on mesure la place que prend une surface : c’est son aire. Dans ce chapitre, tu apprends à compter les carreaux, à utiliser le cm² et à calculer l’aire d’un rectangle et d’un carré.
1. Qu’est-ce que l’aire ?
L’aire d’une surface, c’est la mesure de la place qu’elle occupe. Pour la trouver, on peut paver la surface, c’est-à-dire la recouvrir de carreaux tous identiques, sans trou et sans chevauchement.
Cette surface est pavée par des carreaux. On les compte : 5 carreaux par ligne, 3 lignes.
5 × 3 = 15. Il y a 15 carreaux. L’aire de cette surface est de 15 carreaux.
Deux figures peuvent avoir des formes très différentes et pourtant la même aire. Ces trois figures sont pavées par 10 carreaux chacune.
Une figure longue et fine peut avoir la même aire qu’une figure courte et large. Ne te fie pas seulement à ce que tu vois : compte les carreaux.
2. L’aire dépend de l’unité choisie
Voici la même surface. Avec de grands carreaux, il en faut peu. Avec de petits carreaux, il en faut beaucoup.
Un nombre seul ne suffit pas pour donner une aire : il faut aussi dire quelle unité on utilise. « 6 grands carreaux » et « 24 petits carreaux » désignent la même aire.
Pour que tout le monde se comprenne, on a choisi des carreaux de référence. Ce sont des carrés de taille connue.
3. Le centimètre carré (cm²)
Un centimètre carré (1 cm²) est l’aire d’un carré de 1 cm de côté. On l’écrit « cm² » et on lit « centimètre carré ».
Sur un quadrillage dont les carreaux mesurent 1 cm de côté, une figure pavée par 15 carreaux a pour aire 15 cm².
Une longueur se mesure en cm. Une aire se mesure en cm². « 15 cm » et « 15 cm² » n’ont pas du tout la même signification.
4. L’aire d’un rectangle
Pour paver un rectangle de 6 cm de long et 4 cm de large, on place 4 lignes de 6 carreaux.
Aire = longueur × largeur. On exprime les deux mesures dans la même unité.
Un rectangle mesure 8 cm de long et 5 cm de large.
Aire = 8 × 5 = 40 cm².
1) Je repère la longueur et la largeur. 2) Je vérifie que l’unité est la même. 3) Je multiplie. 4) J’écris l’unité d’aire (cm², m²…) dans la réponse.
5. L’aire d’un carré
Un carré est un rectangle dont la longueur et la largeur sont égales. Son côté se multiplie donc par lui-même.
Aire = côté × côté.
Un carré a un côté de 7 cm. Son aire est 7 × 7 = 49 cm².
6. Aire d’une figure composée
Quand une figure n’est pas un rectangle, on peut la découper en rectangles, calculer chaque aire, puis additionner.
Je découpe la figure en deux rectangles.
Le rectangle du haut mesure 3 cm sur 2 cm : 3 × 2 = 6 cm².
Le rectangle du bas mesure 6 cm sur 3 cm : 6 × 3 = 18 cm².
Aire totale : 6 + 18 = 24 cm².
Tu peux aussi voir la figure comme un grand rectangle auquel on enlève un petit morceau. Ici : 6 × 5 = 30 cm², puis 30 − 6 = 24 cm². C’est le même résultat !
7. Les autres unités d’aire
Un timbre et un terrain de football ne se mesurent pas avec la même unité. On utilise des carrés de plus en plus grands.
| Unité | Écriture | Carré de côté | Exemple |
|---|---|---|---|
| centimètre carré | cm² | 1 cm | un timbre |
| décimètre carré | dm² | 1 dm | une feuille de cahier |
| mètre carré | m² | 1 m | le sol d’une chambre |
| kilomètre carré | km² | 1 km | une grande ville |
1 dm² = 100 cm² · 1 m² = 100 dm² · 1 m² = 10 000 cm².
Quand on passe à l’unité d’en dessous, on multiplie par 100.
3 m² = 3 × 100 = 300 dm². Et 500 cm² = 500 ÷ 100 = 5 dm².
8. Aire et périmètre : ne pas mélanger
Le périmètre est la longueur du tour d’une figure. Il se mesure en cm, en m… L’aire est la place à l’intérieur. Elle se mesure en cm², en m²…
Un rectangle de 6 cm sur 3 cm a un périmètre de 6 + 3 + 6 + 3 = 18 cm et une aire de 6 × 3 = 18 cm². Les deux nombres sont égaux, mais ce sont deux mesures différentes !
Deux rectangles peuvent avoir la même aire et des périmètres différents. Par exemple 12 cm sur 2 cm et 6 cm sur 4 cm ont tous deux 24 cm² d’aire, mais leurs périmètres sont 28 cm et 20 cm.
À retenir
- L’aire mesure la place occupée par une surface.
- On peut la trouver en comptant des carreaux identiques.
- 1 cm² est l’aire d’un carré de 1 cm de côté.
- Aire d’un rectangle = longueur × largeur.
- Aire d’un carré = côté × côté.
- Pour une figure composée, on découpe en rectangles puis on additionne.
- 1 dm² = 100 cm² et 1 m² = 100 dm² = 10 000 cm².
- Le périmètre se mesure en cm ; l’aire se mesure en cm².