Au marché, au supermarché, sur une carte ou sur la route, on rencontre souvent la proportionnalité. Dans ce chapitre, tu apprends à la reconnaître, à compléter un tableau, à trouver le coefficient, puis à utiliser l’échelle, la vitesse et la règle de trois.
1. Qu’est-ce que la proportionnalité ?
Un cahier coûte 2 €. Si tu en achètes 2, tu paies 4 €. Avec 3 cahiers, tu paies 6 €. Quand le nombre de cahiers double, le prix double aussi. Quand il triple, le prix triple.
Chaque barre est deux fois, trois fois, quatre fois plus haute que la première.
Grandeurs proportionnelles
Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe des valeurs de l’une aux valeurs de l’autre en multipliant toujours par le même nombre.
Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe des valeurs de l’une aux valeurs de l’autre en multipliant toujours par le même nombre.
Piège
Ce n’est pas parce que deux nombres grandissent ensemble que c’est de la proportionnalité. Un enfant de 5 ans mesure environ 1 m. À 10 ans, il mesure environ 1,40 m. Son âge a doublé, mais sa taille n’a pas doublé. L’âge et la taille ne sont donc pas proportionnels.
Ce n’est pas parce que deux nombres grandissent ensemble que c’est de la proportionnalité. Un enfant de 5 ans mesure environ 1 m. À 10 ans, il mesure environ 1,40 m. Son âge a doublé, mais sa taille n’a pas doublé. L’âge et la taille ne sont donc pas proportionnels.
2. Reconnaître un tableau de proportionnalité
On range les valeurs dans un tableau. Voici le prix de sachets de bonbons :
| Nombre de sachets | 2 | 4 | 8 | 12 |
|---|---|---|---|---|
| Prix (en €) | 5 | 10 | 20 | 30 |
Savoir si c’est un tableau de proportionnalité
1) Je regarde chaque colonne. 2) Je cherche le nombre par lequel je multiplie la première ligne pour obtenir la deuxième. 3) Si c’est le même nombre pour toutes les colonnes, le tableau est proportionnel. Sinon, il ne l’est pas.
1) Je regarde chaque colonne. 2) Je cherche le nombre par lequel je multiplie la première ligne pour obtenir la deuxième. 3) Si c’est le même nombre pour toutes les colonnes, le tableau est proportionnel. Sinon, il ne l’est pas.
Exemple
2 × 2,5 = 5 ; 4 × 2,5 = 10 ; 8 × 2,5 = 20 ; 12 × 2,5 = 30. On multiplie toujours par 2,5. Le tableau est proportionnel.
2 × 2,5 = 5 ; 4 × 2,5 = 10 ; 8 × 2,5 = 20 ; 12 × 2,5 = 30. On multiplie toujours par 2,5. Le tableau est proportionnel.
Regarde un autre tableau :
| Nombre de tours | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| Prix (en €) | 3 | 5 | 7 |
Pour 1 tour, on multiplie par 3. Pour 2 tours, 2 × 3 = 6 et non 5. Ce n’est donc pas un tableau de proportionnalité.
3. Compléter un tableau : les trois outils
Outil 1 : multiplier ou diviser une colonne
Si je multiplie (ou divise) une valeur de la première ligne par un nombre, je fais pareil dans la seconde ligne. Dans le tableau des sachets, 4 sachets coûtent 10 €. Donc 8 sachets (le double) coûtent 20 € (le double).
Si je multiplie (ou divise) une valeur de la première ligne par un nombre, je fais pareil dans la seconde ligne. Dans le tableau des sachets, 4 sachets coûtent 10 €. Donc 8 sachets (le double) coûtent 20 € (le double).
Outil 2 : additionner deux colonnes
Dans un tableau de proportionnalité, on peut additionner deux colonnes. 4 sachets + 8 sachets = 12 sachets. Donc 10 € + 20 € = 30 €. C’est bien le prix de 12 sachets.
Dans un tableau de proportionnalité, on peut additionner deux colonnes. 4 sachets + 8 sachets = 12 sachets. Donc 10 € + 20 € = 30 €. C’est bien le prix de 12 sachets.
Outil 3 : passer par l’unité
On cherche d’abord la valeur pour 1. 4 sachets coûtent 10 €. Pour 1 sachet : 10 ÷ 4 = 2,50 €. Puis, pour 6 sachets : 6 × 2,50 = 15 €.
On cherche d’abord la valeur pour 1. 4 sachets coûtent 10 €. Pour 1 sachet : 10 ÷ 4 = 2,50 €. Puis, pour 6 sachets : 6 × 2,50 = 15 €.
Exemple
Combien coûtent 20 sachets ? 20 sachets = 2 × 10 sachets, et 10 sachets = 4 sachets + 4 sachets + 2 sachets. Plus simple : 20 × 2,50 = 50. Les 20 sachets coûtent 50 €.
Combien coûtent 20 sachets ? 20 sachets = 2 × 10 sachets, et 10 sachets = 4 sachets + 4 sachets + 2 sachets. Plus simple : 20 × 2,50 = 50. Les 20 sachets coûtent 50 €.
4. Le coefficient de proportionnalité
Coefficient de proportionnalité
C’est le nombre par lequel on multiplie les valeurs de la première ligne pour trouver celles de la seconde. Pour le trouver, on divise une valeur de la seconde ligne par la valeur qui est au-dessus.
C’est le nombre par lequel on multiplie les valeurs de la première ligne pour trouver celles de la seconde. Pour le trouver, on divise une valeur de la seconde ligne par la valeur qui est au-dessus.
Le coefficient est 2,5 : un sachet coûte 2,50 €.
À savoir
Le coefficient est la valeur de la seconde ligne pour 1 de la première. Pour retrouver la première ligne, on divise par le coefficient.
Le coefficient est la valeur de la seconde ligne pour 1 de la première. Pour retrouver la première ligne, on divise par le coefficient.
Exemple
Un jus de fruit contient 3 dL de sirop pour 12 dL d’eau. Coefficient : 12 ÷ 3 = 4. Pour 5 dL de sirop, il faut 5 × 4 = 20 dL d’eau.
Un jus de fruit contient 3 dL de sirop pour 12 dL d’eau. Coefficient : 12 ÷ 3 = 4. Pour 5 dL de sirop, il faut 5 × 4 = 20 dL d’eau.
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Quand tu cherches le coefficient, vérifie-le toujours avec une deuxième colonne. S’il ne marche pas, le tableau n’est pas proportionnel.
Quand tu cherches le coefficient, vérifie-le toujours avec une deuxième colonne. S’il ne marche pas, le tableau n’est pas proportionnel.
5. L’échelle d’un plan ou d’une carte
Un plan est un dessin plus petit que la réalité. Toutes les longueurs sont réduites de la même façon : les longueurs sur le plan et dans la réalité sont proportionnelles.
Échelle
L’échelle dit combien de fois les longueurs réelles sont plus grandes que sur le plan. Une échelle de 1/200 veut dire : 1 cm sur le plan représente 200 cm dans la réalité.
L’échelle dit combien de fois les longueurs réelles sont plus grandes que sur le plan. Une échelle de 1/200 veut dire : 1 cm sur le plan représente 200 cm dans la réalité.
Calculer avec une échelle
Pour trouver une longueur réelle, je multiplie la longueur du plan par le nombre de l’échelle. Pour trouver une longueur sur le plan, je divise la longueur réelle par ce nombre. Je convertis à la fin (100 cm = 1 m ; 100 000 cm = 1 km).
Pour trouver une longueur réelle, je multiplie la longueur du plan par le nombre de l’échelle. Pour trouver une longueur sur le plan, je divise la longueur réelle par ce nombre. Je convertis à la fin (100 cm = 1 m ; 100 000 cm = 1 km).
Exemple
Sur un plan à l’échelle 1/200, un couloir mesure 8 cm. En vrai : 8 × 200 = 1 600 cm, c’est-à-dire 16 m. Une salle de 10 m (1 000 cm) mesure sur le plan 1 000 ÷ 200 = 5 cm.
Sur un plan à l’échelle 1/200, un couloir mesure 8 cm. En vrai : 8 × 200 = 1 600 cm, c’est-à-dire 16 m. Une salle de 10 m (1 000 cm) mesure sur le plan 1 000 ÷ 200 = 5 cm.
Attention aux unités
Mets toujours les deux longueurs dans la même unité avant de calculer, par exemple en centimètres.
Mets toujours les deux longueurs dans la même unité avant de calculer, par exemple en centimètres.
6. La vitesse
La vitesse dit quelle distance on parcourt en 1 heure. Si une voiture roule à 60 km/h, elle parcourt 60 km en 1 h.
À savoir
Quand la vitesse ne change pas, la distance parcourue est proportionnelle au temps. Le coefficient de proportionnalité est la vitesse. Se lit « kilomètres par heure » et s’écrit km/h.
Quand la vitesse ne change pas, la distance parcourue est proportionnelle au temps. Le coefficient de proportionnalité est la vitesse. Se lit « kilomètres par heure » et s’écrit km/h.
Les trois calculs
Distance = vitesse × temps. Temps = distance ÷ vitesse. Vitesse = distance ÷ temps. Le temps doit être en heures.
Distance = vitesse × temps. Temps = distance ÷ vitesse. Vitesse = distance ÷ temps. Le temps doit être en heures.
Exemple
À 60 km/h pendant 3 h, on parcourt 60 × 3 = 180 km. Pour faire 150 km à 50 km/h, il faut 150 ÷ 50 = 3 h. Pour 30 minutes, c’est une demi-heure : à 60 km/h, on parcourt 12 de 60 = 30 km.
À 60 km/h pendant 3 h, on parcourt 60 × 3 = 180 km. Pour faire 150 km à 50 km/h, il faut 150 ÷ 50 = 3 h. Pour 30 minutes, c’est une demi-heure : à 60 km/h, on parcourt 12 de 60 = 30 km.
7. La règle de trois
La règle de trois sert à trouver une quatrième valeur quand on en connaît trois. On passe presque toujours par l’unité.
Les trois étapes
1) Je cherche la valeur pour 1 (je divise). 2) Je multiplie par le nombre voulu. 3) J’écris une phrase réponse avec l’unité.
1) Je cherche la valeur pour 1 (je divise). 2) Je multiplie par le nombre voulu. 3) J’écris une phrase réponse avec l’unité.
Exemple
6 classeurs coûtent 15 €. Combien coûtent 10 classeurs ?
Pour 1 classeur : 15 ÷ 6 = 2,50 €. Pour 10 classeurs : 10 × 2,50 = 25 €. Réponse : 10 classeurs coûtent 25 €.
6 classeurs coûtent 15 €. Combien coûtent 10 classeurs ?
Pour 1 classeur : 15 ÷ 6 = 2,50 €. Pour 10 classeurs : 10 × 2,50 = 25 €. Réponse : 10 classeurs coûtent 25 €.
| Nombre de classeurs | 6 | 1 | 10 |
|---|---|---|---|
| Prix (en €) | 15 | 2,50 | 25 |
Astuce
Avant de calculer, demande-toi : le résultat doit-il être plus grand ou plus petit que le nombre de départ ? 10 classeurs coûtent plus cher que 6, donc 25 € > 15 € est logique.
Avant de calculer, demande-toi : le résultat doit-il être plus grand ou plus petit que le nombre de départ ? 10 classeurs coûtent plus cher que 6, donc 25 € > 15 € est logique.
À retenir
- Deux grandeurs sont proportionnelles si l’on passe de l’une à l’autre en multipliant toujours par le même nombre.
- Ce nombre est le coefficient de proportionnalité : on l’obtient en divisant la seconde ligne par la première.
- On complète un tableau en multipliant, en divisant, en additionnant des colonnes ou en passant par l’unité.
- Échelle 1/200 : 1 cm sur le plan, 200 cm dans la réalité. On convertit à la fin.
- Vitesse : distance = vitesse × temps ; le temps est en heures.
- Règle de trois : je cherche la valeur pour 1, puis je multiplie.
- Attention : l’âge et la taille, par exemple, ne sont pas proportionnels.