Loi binomiale — définition : La loi binomiale B(n ; p) modélise le nombre de succès X obtenus en répétant n fois, de façon indépendante, une même épreuve à deux issues dont le succès a la probabilité p.
Formule
P(X = k) = (n parmi k) × pk × (1 − p)n−k. Le facteur (n parmi k) dénombre les branches de l’arbre qui contiennent k succès.
Moyenne et dispersion
En moyenne on attend np succès, et la variance vaut np(1 − p).
Exemple résolu
On lance 5 fois une pièce truquée qui donne pile avec probabilité 0,6. La probabilité d’obtenir exactement 3 piles est 10 × 0,6³ × 0,4² = 10 × 0,216 × 0,16 = 0,3456. L’espérance du nombre de piles est 5 × 0,6 = 3.
À la calculatrice
Les fonctions binomFdp et binomFRép donnent respectivement P(X = k) et P(X ≤ k).
Erreur fréquente
Oublier le coefficient (n parmi k) et ne garder que pk(1 − p)n−k : on obtient alors la probabilité d’une seule suite précise.