Loi des grands nombres — définition : La loi des grands nombres exprime que la moyenne observée sur un grand nombre de répétitions s'approche de l'espérance, avec une marge d'erreur qui diminue quand n augmente.
Énoncé intuitif
Quand on répète n fois la même expérience de façon indépendante, la moyenne des résultats Mn se rapproche de l’espérance E(X). Pour une fréquence de succès, elle se rapproche de la probabilité p.
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
P(|Mn − E(X)| ≥ δ) ≤ V(X)n δ². Plus n est grand, plus cette borne est petite.
Exemple résolu
On lance une pièce équilibrée n fois : V(X) = 0,25. Pour garantir une fréquence à moins de 0,05 de 0,5 avec au moins 90 % de chances, on veut 0,25n × 0,0025 ≤ 0,1, donc n ≥ 0,250,00025 = 1 000 lancers.
Erreur fréquente
Croire que le hasard « compense » : après cinq piles d’affilée, la pièce n’a aucune tendance à donner face. La loi des grands nombres porte sur la moyenne à long terme, pas sur le prochain tirage.