Somme de variables aléatoires — définition : Pour deux variables aléatoires X et Y, l'espérance de la somme est toujours la somme des espérances ; pour la variance, il faut en plus que X et Y soient indépendantes.
Les règles
- E(X + Y) = E(X) + E(Y), toujours.
- V(X + Y) = V(X) + V(Y) si X et Y sont indépendantes.
- E(aX + b) = aE(X) + b et V(aX + b) = a²V(X).
Application à la loi binomiale
Une variable binomiale B(n ; p) est la somme de n variables de Bernoulli indépendantes. Cela redonne E = np et V = np(1 − p).
Exemple résolu
X est le gain à un premier jeu : E(X) = 2 et V(X) = 9. Y est le gain à un second jeu, indépendant : E(Y) = −0,5 et V(Y) = 4. Pour S = X + Y : E(S) = 1,5 et V(S) = 13, donc σ(S) = √13 ≈ 3,6.
Erreur fréquente
Additionner les écarts-types au lieu des variances : σ(S) n’est pas 3 + 2 = 5. On additionne les variances, puis on prend la racine carrée.
Exemple : Deux dés : E = 3,5 + 3,5 = 7 pour la somme des faces.