PGCD — définition : Le PGCD de deux entiers est le plus grand entier qui divise les deux nombres sans reste ; on le cherche notamment avec l'algorithme d'Euclide.
Comment le calculer ?
Méthode d’Euclide : on divise le plus grand par le plus petit, puis le diviseur par le reste, et ainsi de suite. Le dernier reste non nul est le PGCD.
Exemple. PGCD de 252 et 180.
- 252 = 180 × 1 + 72.
- 180 = 72 × 2 + 36.
- 72 = 36 × 2 + 0.
Le dernier reste non nul est 36 : PGCD(252 ; 180) = 36.
À quoi sert-il ?
- Simplifier : 180252 = 57 en divisant par 36.
- Partager sans reste : 180 billes et 252 jetons peuvent être répartis dans 36 sachets identiques, avec 5 billes et 7 jetons chacun.
Quelle erreur éviter ?
Confondre PGCD et PPCM : le PGCD est un diviseur commun, plus petit que les deux nombres, alors que le PPCM est un multiple commun, plus grand. Deux nombres dont le PGCD vaut 1 sont dits premiers entre eux.
Exemple : PGCD(252 ; 180) = 36 par l’algorithme d’Euclide, donc 180/252 = 5/7.