Le produit scalaire est un outil à deux vecteurs qui donne un nombre. Il permet de calculer des angles et des longueurs, de reconnaître des droites perpendiculaires et d’écrire des équations de droites et de cercles. Après ce chapitre, tu sauras le calculer de plusieurs façons et choisir la plus efficace selon les données de l’énoncé. Mathbot t’accompagne pas à pas !
1. Rappels : vecteurs, norme, angle
Dans un repère orthonormé (O ; I, J), le vecteur AB⃗ a pour coordonnées (xB − xA ; yB − yA). Sa norme, notée ‖AB⃗‖, est la longueur AB.
Dans un repère orthonormé, si u⃗ a pour coordonnées (x ; y), alors ‖u⃗‖ = √(x² + y²).
Deux vecteurs non nuls AB⃗ et AC⃗ de même origine A forment un angle géométrique noté BAC, compris entre 0° et 180°. Si u⃗ et v⃗ sont deux vecteurs non nuls, leur angle est celui que forment deux représentants de même origine.
Pour u⃗(3 ; −4), on a ‖u⃗‖ = √(9 + 16) = √25 = 5.
2. Définition du produit scalaire
Soit u⃗ et v⃗ deux vecteurs. Le produit scalaire de u⃗ et v⃗, noté u⃗ · v⃗, est le nombre réel :
u⃗ · v⃗ = ‖u⃗‖ × ‖v⃗‖ × cos θ
où θ est l’angle formé par u⃗ et v⃗. Si l’un des deux vecteurs est nul, le produit scalaire est égal à 0.
Le résultat est un nombre, pas un vecteur. Son signe dépend de l’angle : positif si l’angle est aigu, négatif s’il est obtus, nul s’il est droit.
Le projeté orthogonal d’un point C sur une droite (AB) est le point H de (AB) tel que (CH) est perpendiculaire à (AB).
Soit A, B, C trois points avec A ≠ B, et H le projeté orthogonal de C sur (AB). Alors :
AB⃗ · AC⃗ = AB⃗ · AH⃗
- si AH⃗ et AB⃗ ont le même sens : AB⃗ · AC⃗ = AB × AH ;
- s’ils sont de sens contraires : AB⃗ · AC⃗ = − AB × AH.
Justification. Dans le triangle AHC rectangle en H, AH = AC × |cos θ| ; le signe de cos θ indique si H est « devant » ou « derrière » A sur la droite (AB). On retrouve bien AB × AC × cos θ.
On a AB = 5 cm et le projeté H de C sur (AB) vérifie AH = 3 cm, avec H du même côté que B. Alors AB⃗ · AC⃗ = 5 × 3 = 15. Si H était de l’autre côté de A, on aurait − 15.
Soit u⃗ et v⃗ avec ‖u⃗‖ = 6, ‖v⃗‖ = 4 et un angle de 60°. Alors u⃗ · v⃗ = 6 × 4 × cos 60° = 24 × 12 = 12.
Si u⃗ et v⃗ sont colinéaires de même sens, u⃗ · v⃗ = ‖u⃗‖ × ‖v⃗‖ ; de sens contraires, u⃗ · v⃗ = − ‖u⃗‖ × ‖v⃗‖. En particulier u⃗ · u⃗ = ‖u⃗‖², que l’on note aussi u⃗².
3. Produit scalaire en coordonnées
Dans un repère orthonormé, si u⃗(x ; y) et v⃗(x′ ; y′), alors :
u⃗ · v⃗ = x x′ + y y′
Démonstration. On utilise l’identité u⃗ · v⃗ = 12(‖u⃗ + v⃗‖² − ‖u⃗‖² − ‖v⃗‖²) démontrée en partie 4. Comme u⃗ + v⃗ a pour coordonnées (x + x′ ; y + y′), on obtient 12((x + x′)² + (y + y′)² − x² − y² − x′² − y′²) = 12(2xx′ + 2yy′) = xx′ + yy′.
u⃗(3 ; 1) et v⃗(−2 ; 5) : u⃗ · v⃗ = 3 × (−2) + 1 × 5 = −6 + 5 = −1.
- Calcule u⃗ · v⃗ avec les coordonnées.
- Calcule les normes ‖u⃗‖ et ‖v⃗‖.
- Déduis cos θ = u⃗ · v⃗ / (‖u⃗‖ × ‖v⃗‖), puis θ avec la touche cos−1 de la calculatrice.
Exemple : u⃗(1 ; 2) et v⃗(3 ; −1). On a u⃗ · v⃗ = 3 − 2 = 1, ‖u⃗‖ = √5, ‖v⃗‖ = √10. Donc cos θ = 1√50 ≈ 0,14 et θ ≈ 81,9°.
La formule x x′ + y y′ n’est valable que dans un repère orthonormé. Et ne confonds pas avec le déterminant x y′ − x′ y, qui sert à la colinéarité.
4. Propriétés et règles de calcul
Pour tous vecteurs u⃗, v⃗, w⃗ et tout réel k :
- symétrie : u⃗ · v⃗ = v⃗ · u⃗ ;
- bilinéarité : u⃗ · (v⃗ + w⃗) = u⃗ · v⃗ + u⃗ · w⃗ et (ku⃗) · v⃗ = k (u⃗ · v⃗) ;
- u⃗ · u⃗ = ‖u⃗‖² ≥ 0.
Ces règles ressemblent à celles du développement des nombres : on peut développer et factoriser.
- ‖u⃗ + v⃗‖² = ‖u⃗‖² + 2 u⃗ · v⃗ + ‖v⃗‖²
- ‖u⃗ − v⃗‖² = ‖u⃗‖² − 2 u⃗ · v⃗ + ‖v⃗‖²
- (u⃗ + v⃗) · (u⃗ − v⃗) = ‖u⃗‖² − ‖v⃗‖²
Démonstration de la première. ‖u⃗ + v⃗‖² = (u⃗ + v⃗) · (u⃗ + v⃗) = u⃗ · u⃗ + u⃗ · v⃗ + v⃗ · u⃗ + v⃗ · v⃗ = ‖u⃗‖² + 2 u⃗ · v⃗ + ‖v⃗‖². La deuxième se démontre de la même façon.
u⃗ · v⃗ = 12 (‖u⃗ + v⃗‖² − ‖u⃗‖² − ‖v⃗‖²) et u⃗ · v⃗ = 12 (‖u⃗‖² + ‖v⃗‖² − ‖u⃗ − v⃗‖²).
En particulier, pour un triangle ABC : AB⃗ · AC⃗ = 12 (AB² + AC² − BC²), car AB⃗ − AC⃗ = CB⃗.
Dans un triangle ABC avec AB = 5, AC = 8 et BC = 7 : AB⃗ · AC⃗ = 12 (25 + 64 − 49) = 402 = 20. Donc cos  = 2040 = 12 et l’angle en A mesure 60°.
Pour calculer un produit scalaire, choisis la formule selon les données : coordonnées → x x′ + y y′ ; deux longueurs et un angle → norme et angle ; les trois côtés → polarisation ; un projeté orthogonal connu → projection.
5. Orthogonalité
Deux vecteurs u⃗ et v⃗ sont orthogonaux si et seulement si u⃗ · v⃗ = 0. Pour trois points, (AB) ⊥ (AC) ⇔ AB⃗ · AC⃗ = 0.
C’est une conséquence de la définition : si les deux vecteurs sont non nuls, le produit est nul exactement quand cos θ = 0, donc θ = 90°. Par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur.
u⃗(4 ; −2) et v⃗(1 ; 2) : u⃗ · v⃗ = 4 − 4 = 0, donc ils sont orthogonaux. Dans un repère, un vecteur directeur de la droite d’équation ax + by + c = 0 est (−b ; a), et le vecteur (a ; b) lui est orthogonal.
Calcule les coordonnées de deux vecteurs issus du même sommet, puis leur produit scalaire. S’il vaut 0, le triangle est rectangle en ce sommet. Sinon, on teste un autre sommet.
Un produit scalaire nul ne veut pas dire qu’un vecteur est nul : u⃗ · v⃗ = 0 signifie u⃗ = 0⃗ ou v⃗ = 0⃗ ou u⃗ ⊥ v⃗.
6. Formule d’Al-Kashi
Dans un triangle ABC, avec a = BC, b = AC et c = AB :
a² = b² + c² − 2 b c cos Â
De même b² = a² + c² − 2 a c cos B̂ et c² = a² + b² − 2 a b cos Ĉ.
Démonstration. BC² = ‖AC⃗ − AB⃗‖² = AC² + AB² − 2 AB⃗ · AC⃗ = b² + c² − 2 b c cos Â.
Quand  = 90°, cos  = 0 : on retrouve le théorème de Pythagore. La formule d’Al-Kashi le généralise à tous les triangles.
- Longueur manquante : on connaît deux côtés et l’angle entre eux. Exemple : AB = 5, AC = 8, Â = 40°. BC² = 25 + 64 − 2 × 5 × 8 × cos 40° ≈ 27,72, donc BC ≈ 5,26.
- Angle : on connaît les trois côtés. On isole : cos  = (b² + c² − a²) / (2bc).
Triangle avec BC = 5, AC = 6, AB = 7. cos  = (36 + 49 − 25) / (2 × 6 × 7) = 6084 = 57, donc  ≈ 44,4°. cos B̂ = (25 + 49 − 36) / (2 × 5 × 7) = 3870 = 1935, donc B̂ ≈ 57,1° et Ĉ ≈ 180 − 44,4 − 57,1 ≈ 78,5°.
7. Théorème de la médiane
Soit A et B deux points, I le milieu de [AB] et M un point quelconque. Alors :
MA² + MB² = 2 MI² + AB²2
On a aussi MA² − MB² = 2 IM⃗ · BA⃗ et MA⃗ · MB⃗ = MI² − AB²4.
Démonstration. On écrit MA⃗ = MI⃗ + IA⃗ et MB⃗ = MI⃗ + IB⃗ avec IB⃗ = − IA⃗. Donc MA⃗ · MB⃗ = (MI⃗ + IA⃗) · (MI⃗ − IA⃗) = MI² − IA² = MI² − AB²4. En ajoutant MA² + MB² = 2 MI² + 2 IA² (les termes en MI⃗ · IA⃗ s’annulent), on obtient 2 MI² + AB²2.
AB = 6, MA = 7, MB = 5 et I milieu de [AB]. MI² = (MA² + MB²) / 2 − AB²4, soit MI² = (49 + 25) / 2 − 9 = 37 − 9 = 28. Donc MI = √28 = 2√7 ≈ 5,29. C’est la longueur de la médiane issue de M dans le triangle MAB.
8. Équation d’une droite et vecteur normal
Un vecteur normal à une droite d est un vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de d.
Dans un repère orthonormé, la droite passant par A et de vecteur normal n⃗(a ; b) est l’ensemble des points M tels que AM⃗ · n⃗ = 0. Elle a une équation de la forme a x + b y + c = 0. Réciproquement, la droite d’équation a x + b y + c = 0 (avec (a ; b) ≠ (0 ; 0)) a pour vecteur normal n⃗(a ; b).
Justification. Si M(x ; y) et A(xA ; yA), alors AM⃗ · n⃗ = a(x − xA) + b(y − yA) = 0, ce qui s’écrit a x + b y + c = 0 avec c = −a xA − b yA.
- Repère un point A de la droite et un vecteur normal n⃗(a ; b).
- Écris a(x − xA) + b(y − yA) = 0.
- Développe et ordonne : a x + b y + c = 0.
- Vérifie avec les coordonnées de A.
Exemple : A(1 ; 4) et n⃗(2 ; −3). On a 2(x − 1) − 3(y − 4) = 0, soit 2x − 3y + 10 = 0. Contrôle : 2 − 12 + 10 = 0 ✔.
Deux droites sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux. Une droite perpendiculaire à ax + by + c = 0 a une équation de la forme bx − ay + c′ = 0.
9. Équation d’un cercle
Le cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r > 0 a pour équation (x − a)² + (y − b)² = r². Développée : x² + y² − 2a x − 2b y + (a² + b² − r²) = 0.
Centre Ω(−1 ; 3), rayon 2 : (x + 1)² + (y − 3)² = 4, soit x² + y² + 2x − 6y + 6 = 0 (car 1 + 9 − 4 = 6).
Le cercle de diamètre [AB] est l’ensemble des points M tels que MA⃗ · MB⃗ = 0. Son centre est le milieu de [AB] et son rayon est AB2.
C’est la propriété du triangle rectangle inscrit dans un demi-cercle, écrite avec le produit scalaire (grâce au théorème de la médiane : MA⃗ · MB⃗ = MI² − AB²4 = 0 ⇔ MI = AB2).
A(1 ; 1) et B(5 ; 3). M(x ; y) est sur le cercle de diamètre [AB] si (x − 1)(x − 5) + (y − 1)(y − 3) = 0, soit x² + y² − 6x − 4y + 8 = 0. Centre (3 ; 2), rayon √5 car (x − 3)² + (y − 2)² = 5.
À partir de x² + y² + px + qy + s = 0, on passe à la forme canonique : (x + p2)² + (y + q2)² = p²+q²4 − s. Si le second membre est strictement positif, c’est un cercle ; s’il est nul, un seul point ; s’il est négatif, l’ensemble est vide.
La tangente en un point A du cercle de centre Ω est la droite passant par A et de vecteur normal ΩA⃗. Son équation s’écrit ΩA⃗ · AM⃗ = 0.
À retenir
- u⃗ · v⃗ = ‖u⃗‖ × ‖v⃗‖ × cos θ ; avec un projeté : AB⃗ · AC⃗ = ± AB × AH.
- En repère orthonormé : u⃗ · v⃗ = x x′ + y y′ et ‖u⃗‖ = √(x² + y²).
- Règles : symétrie, bilinéarité, u⃗ · u⃗ = ‖u⃗‖², identités remarquables.
- AB⃗ · AC⃗ = 12 (AB² + AC² − BC²).
- Orthogonalité : u⃗ ⊥ v⃗ ⇔ u⃗ · v⃗ = 0.
- Al-Kashi : a² = b² + c² − 2 b c cos  ; il généralise Pythagore.
- Médiane : MA² + MB² = 2 MI² + AB²2 et MA⃗ · MB⃗ = MI² − AB²4.
- Droite : vecteur normal (a ; b) ⇒ équation a x + b y + c = 0.
- Cercle : (x − a)² + (y − b)² = r² ; cercle de diamètre [AB] : MA⃗ · MB⃗ = 0.