Équations de droites et de cercles : exercices de maths 1ère

1 Lire une équation ★★★

On considère la droite d d’équation 3x + 4y − 12 = 0.

1. Donne un vecteur normal puis un vecteur directeur de d.
2. Les points A(0 ; 3), B(2 ; 1) et C(4 ; 0) appartiennent-ils à d ?
3. Où d coupe-t-elle les axes du repère ?

2 Point et vecteur normal ★★★

Détermine une équation cartésienne de la droite :

1. passant par A(2 ; −1) et de vecteur normal n(3 ; 2) ;
2. passant par B(−1 ; 4) et de vecteur normal n(1 ; −5).

3 Droite par deux points ★★★

Détermine une équation cartésienne de la droite (AB) dans chaque cas.

1. A(1 ; 2) et B(4 ; 8).
2. A(−2 ; 3) et B(1 ; −1).

4 Changer de forme ★★★

a. Écris sous la forme y = mx + p (ou x = k) : 2x − 3y + 6 = 0 ; −4x + 2y − 10 = 0 ; 5x − 15 = 0.

b. Écris une équation cartésienne de la droite d’équation y = −12x + 3.

5 Vrai ou faux ? ★★★

Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant.

1. n(2 ; 1) est un vecteur normal de la droite 2x + y − 7 = 0.
2. n(3 ; −2) est un vecteur normal de la droite 2x + 3y − 1 = 0.
3. Les droites 4x − 6y + 1 = 0 et 2x − 3y + 5 = 0 sont parallèles.
4. La droite 3x + y = 0 passe par l’origine.
5. Les droites x − 2y + 3 = 0 et 2x + y − 1 = 0 sont perpendiculaires.

6 Lire une équation de cercle ★★★

Donne le centre et le rayon de chaque cercle.

1. (x − 3)² + (y + 2)² = 25
2. x² + y² = 7
3. (x + 1)² + (y − 4)² = 12

Le point A(6 ; 2) appartient-il au premier cercle ?

7 Écrire une équation de cercle ★★★

a. Écris l’équation du cercle de centre (−2 ; 5) et de rayon 4.

b. Écris l’équation du cercle de centre Ω(1 ; 1) passant par A(4 ; 5).

8 Parallèle et perpendiculaire ★★★

Soit d : 2x − 5y + 1 = 0 et A(3 ; −2). Détermine une équation de la parallèle à d passant par A, puis de la perpendiculaire à d passant par A.

9 Hauteurs d’un triangle ★★★

Dans un repère orthonormé, A(1 ; 1), B(5 ; 3) et C(2 ; 6).

1. Détermine une équation de la hauteur issue de A et de la hauteur issue de B.
2. Calcule les coordonnées de leur point d’intersection H.
3. Vérifie que H est aussi sur la hauteur issue de C.

10 Médiatrice d’un segment ★★★

A(−1 ; 2) et B(5 ; 4). Détermine une équation de la médiatrice de [AB], puis vérifie que le point M(0 ; 9) est équidistant de A et de B.

11 Intersection de droites ★★★

a. Calcule les coordonnées du point d’intersection de d : 2x + 3y − 7 = 0 et d′ : 4x − y − 7 = 0.

b. Les droites 3x − 6y + 2 = 0 et x − 2y − 5 = 0 sont-elles sécantes ?

12 Un paramètre ★★★

a. Pour quelles valeurs du réel m la droite d : mx + 2y − 1 = 0 est-elle (1) parallèle à d′ : 3x + y + 4 = 0 ? (2) perpendiculaire à d′ ?

b. Les droites 3x − 4y + 1 = 0 et 8x + 6y − 5 = 0 sont-elles parallèles, perpendiculaires, ou ni l’une ni l’autre ?

13 Cercle de diamètre [AB] ★★★

A(1 ; 2) et B(5 ; −2). Détermine l’équation du cercle de diamètre [AB] de deux façons : avec le centre et le rayon, puis avec MA·MB = 0. Montre que les deux résultats coïncident.

14 Reconnaître un ensemble ★★★

Étudie l’ensemble des points M(x ; y) vérifiant :

1. x² + y² − 4x + 6y − 3 = 0
2. x² + y² + 2x − 8y + 20 = 0
3. x² + y² − 2x + 4y + 5 = 0

15 Tangente en un point ★★★

Le cercle C a pour équation (x + 1)² + (y − 3)² = 20. Vérifie que A(1 ; 7) est sur C, puis donne l’équation de la tangente à C en A.

16 Droite et cercle sécants ★★★

Détermine les points d’intersection du cercle x² + y² = 25 et de la droite y = x + 1.

17 Trois droites, un cercle ★★★

Le cercle C a pour équation (x − 2)² + (y − 1)² = 10. Pour chacune des droites, détermine le nombre de points communs avec C et donne-les : d₁ : 3x + y − 17 = 0 ; d₂ : y = x + 1 ; d₃ : 3x + y − 30 = 0.

18 Tangentes issues d’un point ★★★

Le cercle C a pour équation x² + y² = 5 et P est le point (5 ; 0), extérieur au cercle. On cherche les points T de C tels que (PT) soit tangente à C.

1. Montre que T(x ; y) convient si et seulement si OT·PT = 0 et x² + y² = 5.
2. En déduire x puis y.
3. Donne les équations des deux tangentes.

19 Cercle passant par trois points ★★★

A(5 ; 1), B(2 ; 4) et C(−1 ; 1). Détermine le centre et le rayon du cercle passant par ces trois points (cercle circonscrit à ABC) en utilisant des médiatrices.

20 Valeurs de m pour une tangente ★★★

Pour quelles valeurs de m la droite d_m : y = x + m est-elle tangente au cercle x² + y² = 8 ? Donne les points de contact.

21 Cercle tangent à une droite ★★★

Soit d : 3x − 4y − 10 = 0 et Ω(1 ; 2). Détermine l’équation du cercle de centre Ω tangent à d.

22 Intersection de deux cercles ★★★

Détermine les points communs des cercles C₁ : x² + y² = 25 et C₂ : (x − 5)² + (y − 5)² = 25.

23 Problème : l’arroseur ★★★

Dans un jardin, on place un repère orthonormé d’unité 1 mètre. Un arroseur situé en S(3 ; 2) mouille tous les points à 5 m au plus de lui. Une allée rectiligne passe par M(3 ; 7) et N(7 ; 5).

1. Détermine une équation cartésienne de l’allée.
2. Détermine l’équation du cercle limite de la zone arrosée.
3. Sur quelle longueur de l’allée l’eau tombe-t-elle ? Donne la valeur exacte puis arrondie au décimètre.