Espaces : visualiser et construire : corrigé des exercices de maths 6ème

1 Nommer des solides ★★★

1. C’est un cylindre.
2. C’est une pyramide à base carrée.
3. C’est un cube.
4. C’est un cône.
5. C’est une boule (la surface est une sphère).

2 Des objets et des solides ★★★

a. boule ; b. pavé droit ; c. cylindre ; d. cône (la partie large) ; e. cube ; f. prisme droit (à base triangulaire).

3 Polyèdre ou non ? ★★★

Un polyèdre a toutes ses faces polygonales. Ce sont donc des polyèdres : le cube (six carrés), le prisme droit (polygones et rectangles) et la pyramide (polygone et triangles). Ne sont pas des polyèdres : le cône et le cylindre (ils ont des disques ou une surface courbe) et la boule (surface courbe).

4 Faces, sommets, arêtes ★★★

Contrôle avec « faces + sommets = arêtes + 2 » : 6 + 8 = 14 = 12 + 2 ; 5 + 6 = 11 = 9 + 2 ; 5 + 5 = 10 = 8 + 2 ; 4 + 4 = 8 = 6 + 2.

5 Le vocabulaire sur un pavé ★★★

1. La face du dessus est NMRS.
2. Les arêtes cachées sont [KP], [PQ] et [PS].
3. Le sommet caché est P.
4. Les arêtes parallèles à [KL] sont [NM], [SR] et [PQ].
5. Trois faces sont visibles : KLMN (devant), LMRQ (à droite) et NMRS (dessus).

6 Longueurs d’arêtes ★★★

1. Un cube a 12 arêtes de même longueur : 12 × 4,5 = 54 cm.
2. Il y a 4 arêtes de chaque dimension : 4 × (7 + 3 + 2) = 4 × 12 = 48 cm.
3. 60 ÷ 12 = 5 cm (vérification : 12 × 5 = 60).

7 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai : ses six faces sont des rectangles (des carrés).
2. Faux : seul le cube a six carrés ; un pavé a des faces rectangulaires de tailles différentes.
3. Faux : ses bases sont des disques, qui ne sont pas des polygones.
4. Vrai : 4 sommets pour la base et 1 pour le sommet principal.
5. Vrai : elles ont la même longueur et la même largeur.
6. Faux : les bases d’un prisme peuvent être des triangles, des pentagones, etc. ; seul le pavé a des bases rectangulaires.

8 Quels assemblages sont des patrons de cube ? ★★★

• A : c’est un patron. Une file de 4 carrés avec un carré au-dessus et un autre en dessous.
• B : ce n’est pas un patron. Cinq carrés sont alignés : en pliant, le premier et le cinquième se recouvrent.
• C : c’est un patron (le patron « en escalier »). Chaque carré trouve sa place en pliant, sans recouvrement.
• D : ce n’est pas un patron. Les deux carrés du haut sont du même côté de la file de 4 : ils se rabattent tous les deux sur le dessus, et le dessous reste vide.

9 Un patron de dé ★★★

Dans la file de quatre carrés, le premier et le troisième sont opposés, le deuxième et le quatrième aussi ; les deux carrés restants sont opposés. Donc : face opposée à 2 : 7 − 2 = 5 (troisième carré) ; face opposée à 1 : 7 − 1 = 6 (quatrième carré) ; face opposée à 3 : 7 − 3 = 4 (carré du bas).

10 Un cube en perspective cavalière ★★★

1. La face parallèle à ABCD est la face opposée EFGH.
2. Les faces perpendiculaires à ABCD sont les quatre faces qui la touchent : ABFE, BCGF, CDHG et DAEH.
3. Les arêtes cachées sont [AE], [EF] et [EH].
4. Dans un cube, toutes les arêtes ont la même longueur : 12 arêtes.
5. Les faces visibles sont ABCD, BCGF et DCGH.

11 Dessiner un pavé en perspective cavalière ★★★

Les arêtes fuyantes mesurent 4 × 12 = 2 cm sur le dessin. Démarche : 1) trace le rectangle ABCD de 5 cm sur 3 cm ; 2) depuis A, B, C et D, trace quatre segments de 2 cm à 45° vers le haut et la droite ; 3) relie leurs extrémités E, F, G et H ; 4) trace [AE], [EF] et [EH] en pointillés.

12 Associer patrons et solides ★★★

X : un carré et quatre triangles qui se rejoignent en un point : c’est une pyramide à base carrée. Y : trois rectangles et deux triangles : c’est un prisme droit à base triangulaire. Z : un rectangle et deux disques : c’est un cylindre.

13 Le patron d’un pavé ★★★

Les six faces : deux rectangles 4 cm × 2 cm (dessus et dessous), deux rectangles 4 cm × 3 cm et deux rectangles 2 cm × 3 cm. Une solution est de tracer une bande de quatre rectangles (4 × 3, 2 × 3, 4 × 3, 2 × 3) puis de coller un rectangle 4 × 2 en haut et un autre en bas.

Aire : 2 × (4 × 2) + 2 × (4 × 3) + 2 × (2 × 3) = 16 + 24 + 12 = 52 cm².

14 Compter des cubes ★★★

1. Rangée de devant : 1 + 1 + 2 = 4 cubes. Rangée de derrière : 2 + 3 + 3 = 8 cubes. Total : 4 + 8 = 12 cubes.
2. Le pavé complet contient 3 × 2 × 3 = 18 cubes. Il faut en ajouter 18 − 12 = 6 cubes.

15 Dessiner les vues d’un assemblage ★★★

1. 1 + 2 + 1 + 3 + 1 + 2 = 10 cubes.
2. Vue de face : on garde la pile la plus haute dans chaque colonne, soit 3, 2 et 2. Vue de gauche (de l’arrière vers l’avant) : 3 puis 2. Vue de droite (de l’avant vers l’arrière) : 2 puis 3.

16 Les marches de l’escalier ★★★

1. 1 + 2 + 3 + 4 = 10 blocs.
2. Faces de devant : 10. Faces du dessus : une par marche, soit 4. Faces du côté gauche : 1 + 1 + 1 + 1 = 4 (on ne voit à gauche que ce qui dépasse de la marche précédente). Faces du côté droit : 4 (la dernière marche mesure 4 blocs). Total : 10 + 4 + 4 + 4 = 22 faces.
3. Une face est un carré de 50 cm de côté, soit 0,5 m × 0,5 m = 0,25 m². Aire : 22 × 0,25 = 5,5 m². Pour deux couches : 2 × 5,5 = 11 m².
4. 11 ÷ 4 = 2,75 : il faut 3 litres.
5. 1 + 2 + … + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = 5 × 11 = 55 blocs.

17 Un cube peint puis découpé ★★★

1. Les cubes des coins : le grand cube a 8 sommets, donc 8 cubes.
2. Les cubes au milieu de chaque arête : 12 arêtes, donc 12 cubes.
3. Les cubes au centre de chaque face : 6 faces, donc 6 cubes.
4. Le cube du centre : 1 cube.

Vérification : 8 + 12 + 6 + 1 = 27.

18 Le patron d’un cylindre ★★★

Le patron comprend deux disques de rayon 3 cm et un rectangle. La largeur du rectangle est la hauteur du cylindre : 5 cm. Sa longueur est le périmètre d’un disque : 2 × 3,14 × 3 = 18,84, soit environ 18,8 cm. Le rectangle mesure donc environ 18,8 cm sur 5 cm.

19 Le papier cadeau ★★★

Les faces vont par paires : 12 cm × 8 cm (dessus et dessous) : 12 × 8 = 96 cm². 12 cm × 5 cm (devant et derrière) : 60 cm². 8 cm × 5 cm (les deux côtés) : 40 cm². La somme des trois aires est 96 + 60 + 40 = 196 cm², donc l’aire totale est 2 × 196 = 392 cm². Il faut au moins 392 cm² de papier.

20 Ranger des boîtes cubiques ★★★

1. Dans la longueur : 40 ÷ 10 = 4 ; dans la largeur : 30 ÷ 10 = 3 ; en hauteur : 20 ÷ 10 = 2. Nombre de boîtes : 4 × 3 × 2 = 24 boîtes.
2. Dans la longueur : 40 ÷ 5 = 8 ; dans la largeur : 30 ÷ 5 = 6 ; en hauteur : 20 ÷ 5 = 4. Nombre de boîtes : 8 × 6 × 4 = 192 boîtes. (Vérification : un cube de 10 cm contient 2 × 2 × 2 = 8 cubes de 5 cm, et 24 × 8 = 192.)

21 Compléter un assemblage en cube ★★★

1. Rangée de devant : 1 + 1 + 1 = 3 ; rangée du milieu : 2 + 2 + 1 = 5 ; rangée de derrière : 2 + 3 + 1 = 6. Total : 3 + 5 + 6 = 14 cubes.
2. Un cube de 3 cubes d’arête contient 3 × 3 × 3 = 27 cubes, donc il faut en ajouter 27 − 14 = 13 cubes.
3. Vue de face : les piles les plus hautes de chaque colonne sont 2, 3 et 1.

22 Prismes et pyramides : compter ★★★

1. Pyramide à base hexagonale : 6 faces triangulaires et 1 base, soit 7 faces ; 6 sommets sur la base et le sommet principal, soit 7 sommets ; 6 arêtes sur la base et 6 arêtes latérales, soit 12 arêtes. Contrôle : 7 + 7 = 14 = 12 + 2.
2. Prisme à base pentagonale : 5 faces latérales et 2 bases, soit 7 faces ; 5 sommets par base, soit 10 sommets ; 5 arêtes par base et 5 arêtes latérales, soit 5 + 5 + 5 = 15 arêtes. Contrôle : 7 + 10 = 17 = 15 + 2.