Espace : prismes, cylindres et pyramides : corrigé des exercices de maths 4ème

1 Reconnaître des solides ★★★

1. Une boîte de céréales est un pavé droit, donc un prisme droit à base rectangulaire.
2. La bougie ronde est un cylindre de révolution (deux bases en disque).
3. Les deux côtés triangulaires sont des bases superposables et parallèles reliées par des rectangles : c’est un prisme droit à base triangulaire.
4. La balle est une boule : aucun des trois solides.
5. Une base carrée et des faces triangulaires qui se rejoignent en un sommet : une pyramide à base carrée.

2 Faces, arêtes, sommets ★★★

1. Base à n = 5 côtés : faces = 5 + 2 = 7 ; arêtes = 3 × 5 = 15 ; sommets = 2 × 5 = 10.
2. Base à n = 6 côtés : faces = 6 + 1 = 7 ; arêtes = 2 × 6 = 12 ; sommets = 6 + 1 = 7.

3 Tableau et relation d’Euler ★★★

On trouve toujours 2. Cette relation (F + S − A = 2) est vraie pour les prismes et les pyramides : elle sert à vérifier un comptage.

4 Volume d’un prisme ★★★

Aire de la base : B = 6 × 8 ÷ 2 = 24 cm².

Volume : V = B × h = 24 × 10 = 240 cm³.

5 Volume d’un cylindre ★★★

V = π × r² × h = π × 5² × 12 = π × 25 × 12 = 300π cm³.

À la calculatrice : 300π ≈ 942,48 cm³.

6 Volume d’une pyramide ★★★

Aire de la base : B = 6 × 6 = 36 cm².

V = 13 × B × h = 13 × 36 × 9 = 324 ÷ 3 = 108 cm³.

7 Changer d’unité ★★★

1. 2,5 L = 2,5 dm³ = 2 500 cm³.
2. 1 m³ = 1 000 L, donc 3 m³ = 3 000 L.
3. 1 000 cm³ = 1 L, donc 450 cm³ = 0,45 L.
4. 1 m³ = 1 000 dm³, donc 0,8 m³ = 800 dm³.

8 Patron d’un cylindre ★★★

1. La surface latérale dépliée est un rectangle. Sa hauteur est 8 cm et sa longueur est le périmètre de la base : 2 × π × 3 = 6π ≈ 18,8 cm.
2. Le patron se compose de ce rectangle (18,8 cm sur 8 cm) et de deux disques de rayon 3 cm, tangents au rectangle.

9 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai. Un cube a deux bases carrées superposables et des faces latérales carrées, donc rectangulaires.
2. Vrai. C’est ce qui rend le prisme « droit » : les faces latérales sont des rectangles.
3. Faux. Le volume d’une pyramide est 13 × B × h ; B × h est le volume du prisme de même base et de même hauteur.
4. Faux. V = π × r² × h : si r devient 2r, alors (2r)² = 4r² et le volume est multiplié par 4.
5. Vrai. C’est un disque de même rayon que les bases.

10 Aires d’un prisme ★★★

Périmètre de la base : 5 + 12 + 13 = 30 cm.

Aire latérale = périmètre × hauteur = 30 × 7 = 210 cm² (trois rectangles : 5 × 7 + 12 × 7 + 13 × 7 = 35 + 84 + 91 = 210).

Aire d’une base : 5 × 12 ÷ 2 = 30 cm². Aire totale = 210 + 2 × 30 = 270 cm².

11 La boîte de conserve ★★★

1. Le rayon est 8 ÷ 2 = 4 cm. V = π × 4² × 11 = 176π ≈ 552,92 cm³, soit environ 553 cm³. Comme 1 cL = 10 cm³, cela fait environ 55,3 cL.
2. L’étiquette est un rectangle de hauteur 11 cm et de longueur 2 × π × 4 = 8π ≈ 25,1 cm. Son aire est 8π × 11 = 88π ≈ 276 cm².

12 L’aquarium ★★★

1. L’eau forme un pavé de 80 cm sur 35 cm sur 40 cm : V = 80 × 35 × 40 = 112 000 cm³ = 112 dm³ = 112 L.
2. Il reste 45 − 40 = 5 cm de hauteur : 80 × 35 × 5 = 14 000 cm³ = 14 L.
   Phrase réponse : l’aquarium contient 112 L et il faut encore 14 L pour le remplir.

13 Un tas de sable en pyramide ★★★

Aire de la base : B = 12 × 9 = 108 m².

V = 13 × 108 × 4,5 = 36 × 4,5 = 162 m³.

14 Prisme à base trapèze ★★★

Aire du trapèze : B = (8 + 5) × 4 ÷ 2 = 13 × 2 = 26 cm².

Volume : V = B × h = 26 × 10 = 260 cm³.

Attention : on multiplie par 10 cm (hauteur du prisme), pas par 4 cm (hauteur du trapèze).

15 Retrouver une hauteur ★★★

1. Aire de la base : 6 × 5 = 30 cm². Comme V = B × h, on a 30 × h = 180, donc h = 180 ÷ 30 = 6 cm.
2. V = π × 4² × h = 16π × h = 200, donc h = 200 ÷ (16π) ≈ 3,98 cm.

16 Quelle section ? ★★★

1. La section par un plan parallèle à une face est identique à cette face : c’est un rectangle de 6 cm sur 3 cm.

2. a) La section est un disque de rayon 3 cm, d’aire π × 3² = 9π cm² (≈ 28,27 cm²). b) La section est un rectangle de hauteur 10 cm et de largeur égale au diamètre 6 cm : 6 cm sur 10 cm, d’aire 60 cm².

17 Le patron d’un prisme ★★★

Les deux rectangles latéraux de gauche et de droite ont pour largeur les côtés égaux du triangle : 5 cm. Ils mesurent donc 5 × 9 (cm).

Périmètre de la base : 5 + 5 + 6 = 16 cm ; aire latérale = 16 × 9 = 144 cm².

Aire d’une base : 6 × 4 ÷ 2 = 12 cm² ; deux bases : 24 cm².

Aire totale : 144 + 24 = 168 cm².

18 Un cube découpé en pyramides ★★★

1. Cube : 6³ = 216 cm³. La base ABCD est un carré de 36 cm² et la hauteur [CG] mesure 6 cm. V = 13 × 36 × 6 = 72 cm³.
2. Les trois faces ABCD, ABFE et ADHE sont celles qui ne contiennent pas G ; les trois pyramides sont superposables par symétrie du cube et se partagent tout son volume sans se chevaucher. Chacune vaut donc 216 ÷ 3 = 72 cm³, ce qui confirme la question a.
3. Base ABC : triangle rectangle isocèle de côtés de l’angle droit 6 cm, d’aire 6 × 6 ÷ 2 = 18 cm². Hauteur : l’arête [BF], 6 cm. V = 13 × 18 × 6 = 36 cm³, soit 36 ÷ 216 = 16 du volume du cube.

19 Le seau ★★★

1. V = π × 15² × 30 = 6 750π ≈ 21 205,75 cm³ ≈ 21 205,75 cm³, soit environ 21,2 L.
2. 15 L = 15 000 cm³. L’eau forme un cylindre de même rayon : π × 15² × h = 15 000, donc h = 15 000 ÷ (225π) ≈ 21,2 cm.
   Phrase réponse : le seau contient environ 21,2 L et l’eau monte à 21,2 cm environ.

20 Le chocolat triangulaire ★★★

1. Aire de la base : 5 × 4,4 ÷ 2 = 11 cm². V = 11 × 28 = 308 cm³.
2. Masse : 308 × 1,3 = 400,4 g. Il y a donc environ 400 g de chocolat.

21 Un tuyau ★★★

Volume du cylindre plein : π × 5² × 20 = 500π cm³. Volume du « trou » : π × 4² × 20 = 320π cm³.

Matière : 500π − 320π = 180π cm³ ≈ 565 cm³ (la valeur à deux décimales est 565,49).

22 Pyramide régulière ★★★

1. B = 8 × 8 = 64 cm². V = 13 × 64 × 3 = 64 cm³.
2. Triangle SHM rectangle en H : d’après le théorème de Pythagore, SM² = SH² + HM² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, donc SM = 5 cm.
3. Une face latérale est un triangle de base 8 cm et de hauteur SM = 5 cm : aire 8 × 5 ÷ 2 = 20 cm². Aire latérale : 4 × 20 = 80 cm². Aire totale : 80 + 64 = 144 cm².

23 Cylindre dans un cube ★★★

1. Cube : 10³ = 1 000 cm³. Le rayon est 5 cm : cylindre : π × 5² × 10 = 250π ≈ 785,4 cm³.
2. Volume perdu : 1 000 − 785,40 = 214,60 cm³. Pourcentage : 214,60 ÷ 1 000 ≈ 0,215, soit environ 21 % du cube.

24 Une pyramide, une hauteur ★★★

B = 10 × 5 = 50 cm². V = 13 × 50 × h = 150, donc 50 × h = 450 et h = 450 ÷ 50 = 9 cm.

Prisme de même base et de même hauteur : V = 50 × 9 = 450 cm³, soit 3 × 150 : trois fois le volume de la pyramide.

25 Le pack de six boîtes ★★★

1. Sur la longueur : 3 boîtes de 8 cm : 24 cm. Sur la largeur : 2 boîtes : 16 cm. Hauteur : 11 cm. Dimensions : 24 cm × 16 cm × 11 cm.
2. Volume du carton : 24 × 16 × 11 = 4 224 cm³. Une boîte : 176π cm³ ; six boîtes : 1 056π ≈ 3 318 cm³.
3. Volume vide : 4 224 − 3 317,52 ≈ 906 cm³.